このページで学ぶこと
2次方程式とは、x² のように「2乗」が出てくる方程式です。
2次方程式は、高校受験でよく出る大切な単元です。
でも、最初から解の公式や難しい計算に入ると、
「x²って何？」
「普通の方程式と何が違うの？」
「なぜ因数分解すると解けるの？」
「答えが2つ出るのはなぜ？」
「解の公式は何をしているの？」
とつまずきやすくなります。
このページでは、2次方程式を意味からゆっくり説明します。
2次方程式とは何か？
2次方程式とは、x² が出てくる方程式です。
たとえば、次のような式です。
x² + 5x + 6 = 0
x² は、
x × x
という意味です。
つまり、2次方程式は、x が2回かけ合わされた形が出てくる方程式です。
2次方程式とは、x² が出てくる方程式のことです。
「2次」という名前は、文字の最高の次数が2であることから来ています。
難しく聞こえるかもしれませんが、最初は、
x² がある方程式
と考えれば大丈夫です。
1次方程式と2次方程式の違い
まず、今まで学んだ普通の方程式と比べてみましょう。
| 種類 |
例 |
特徴 |
| 1次方程式 |
x + 3 = 10 |
x が出てくる |
| 2次方程式 |
x² + 5x + 6 = 0 |
x² が出てくる |
1次方程式では、x の値が1つだけ出ることが多いです。
一方、2次方程式では、答えが2つ出ることがあります。
たとえば、x² = 9 の答えは、x = 3 だけではありません。
x = -3 でも、(-3)² = 9 になります。
2次方程式では、答えが2つ出ることがある。ここが大切です。
x²とは何か？
2次方程式でよく出てくる x² を確認しましょう。
x² = x × x
たとえば、x = 4 なら、
x² = 4 × 4 = 16
です。
x = -4 なら、
x² = (-4) × (-4) = 16
です。
つまり、4 も -4 も、2乗すると 16 になります。
2乗では、プラスの数とマイナスの数が同じ答えになることがあります。
これが、2次方程式で答えが2つ出る理由の一つです。
2次方程式を解くとは？
2次方程式を解くとは、その式を正しくする x の値を見つけることです。
たとえば、
x² - 9 = 0
という式があります。
x = 3 を入れると、
3² - 9 = 9 - 9 = 0
なので正しいです。
x = -3 を入れても、
(-3)² - 9 = 9 - 9 = 0
なので正しいです。
だから答えは、
x = 3、-3
です。
2次方程式を解くとは、式が成り立つ x を見つけることです。
2次方程式は何に使うの？
2次方程式は、面積や図形、関数の問題でよく使われます。
たとえば、正方形の面積を考えてみましょう。
1辺の長さが x cm の正方形があります。
面積が 25 cm² のとき、1辺の長さは何 cm ですか？
正方形の面積は、
たて × よこ
です。
正方形なので、たてもよこも x です。
x × x = 25
つまり、
x² = 25
となります。
このように、面積の問題では x² が出てくることがあります。
2次方程式は、面積や2次関数、図形の問題につながる大切な考え方です。
2次方程式の解き方は大きく3つ
中学数学でよく使う2次方程式の解き方は、主に3つです。
| 解き方 |
使いやすい式 |
例 |
| 平方根で解く |
x² = 数字 の形 |
x² = 16 |
| 因数分解で解く |
かけ算の形にできる式 |
x² + 5x + 6 = 0 |
| 解の公式で解く |
因数分解しにくい式 |
x² + x - 1 = 0 |
最初は、平方根と因数分解で解く方法をしっかり理解しましょう。
解の公式は、因数分解しにくいときに使う道具です。
平方根で解く方法
まずは、次のような形を考えます。
x² = 16
これは、
x × x = 16
という意味です。
4 × 4 = 16 なので、x = 4 が答えです。
しかし、-4 × -4 も 16 です。
だから、
x = 4、-4
となります。
x² = 16 の答えは、x = ±4 と書くこともあります。
±4 は、「4 と -4」という意味です。
例題1：x² = 25 を解く
次の2次方程式を解いてみましょう。
x² = 25
何を2乗すると25になるかを考えます。
5² = 25
そして、
(-5)² = 25
でもあります。
だから答えは、
x = 5、-5
です。
x² = 25 の答えを x = 5 だけにしないように注意しましょう。
因数分解で解く考え方
2次方程式では、因数分解を使うと解きやすいものがあります。
たとえば、
x² + 5x + 6 = 0
を考えます。
左側を因数分解すると、
(x + 2)(x + 3) = 0
になります。
ここで大切なのが、
かけ算の答えが 0 になるとき、かけているもののどちらかが 0 になる
という考え方です。
たとえば、
A × B = 0
なら、
A = 0 または B = 0
です。
だから、
(x + 2)(x + 3) = 0
では、
x + 2 = 0
または
x + 3 = 0
と考えます。
それぞれ解くと、
x = -2、-3
になります。
例題2：x² + 5x + 6 = 0 を解く
次の2次方程式を解いてみましょう。
x² + 5x + 6 = 0
まず、左側を因数分解します。
探すのは、
足して 5
かけて 6
になる2つの数です。
2 と 3 は、
2 + 3 = 5
2 × 3 = 6
なので、
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
です。
したがって、
(x + 2)(x + 3) = 0
となります。
かけ算して0になるので、
x + 2 = 0
または
x + 3 = 0
と考えます。
それぞれ解くと、
x = -2、-3
答えは、
x = -2、-3
です。
例題3：x² - 7x + 12 = 0 を解く
次の2次方程式を解いてみましょう。
x² - 7x + 12 = 0
まず、左側を因数分解します。
探すのは、
足して -7
かけて 12
になる2つの数です。
-3 と -4 は、
-3 + (-4) = -7
(-3) × (-4) = 12
です。
だから、
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
です。
したがって、
(x - 3)(x - 4) = 0
となります。
かけ算して0になるので、
x - 3 = 0
または
x - 4 = 0
です。
それぞれ解くと、
x = 3、4
答えは、
x = 3、4
です。
共通因数で解く2次方程式
次のような2次方程式もあります。
x² + 4x = 0
左側には、どちらの項にも x が入っています。
だから、x でくくります。
x(x + 4) = 0
かけ算して0になるので、
x = 0
または
x + 4 = 0
です。
したがって、
x = 0、-4
になります。
x で割ってしまうと、x = 0 という答えを見落とすことがあります。
まず因数分解して考えましょう。
解の公式とは何か？
2次方程式には、解の公式という便利な公式があります。
2次方程式を、
ax² + bx + c = 0
の形にしたとき、答えは次の公式で求められます。
x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ 2a
いきなり見ると、とても難しく感じるかもしれません。
でも、今はこう考えれば大丈夫です。
解の公式は、因数分解しにくい2次方程式でも答えを出すための道具です。
最初から無理に使おうとせず、まずは因数分解で解ける問題をしっかり練習しましょう。
高校受験では解の公式も大切ですが、基礎が不安なうちは「因数分解で解く」ことを先に身につけるのがおすすめです。
2次方程式を解く流れ
2次方程式を見たら、次の順番で考えると整理しやすくなります。
- 式を 右辺が0 の形にする
- 因数分解できるか考える
- 因数分解できたら、かけ算して0の形にする
- それぞれのかっこを 0 として考える
- x の値を求める
- 答えをもとの式に入れて確認する
2次方程式では、まず「= 0」の形にすることが大切です。
右辺を0にする理由
2次方程式では、よく右側を0にします。
たとえば、
x² + 5x = -6
のような式は、そのままだと因数分解で解きにくいです。
右側の -6 を左側へ移項します。
x² + 5x + 6 = 0
こうすると、左側を因数分解できます。
(x + 2)(x + 3) = 0
かけ算して0の形になったので、答えを求められます。
右辺を0にするのは、「かけ算して0ならどちらかが0」という考え方を使うためです。
よくある間違い
2次方程式では、次のような間違いがよくあります。
間違いやすい考え方
・x² = 25 の答えを x = 5 だけにする
・右辺を0にしないまま因数分解する
・因数分解の符号を間違える
・(x + 2)(x + 3) = 0 から x = 2、3 としてしまう
・x² + 4x = 0 で x = 0 を見落とす
・答えをもとの式で確認しない
正しい考え方
・x² = 25 は x = 5、-5
・まず右辺を0にする
・足して○、かけて○を確認する
・x + 2 = 0 なら x = -2
・共通因数 x も大切にする
・最後に代入して確認する
2次方程式では、答えが2つ出ることがあります。1つだけで終わらないように注意しましょう。
確認問題
2次方程式の意味と解き方を確認してみましょう。
問題1
x² = 9 を解きましょう。
問題2
x² = 36 を解きましょう。
問題3
x² + 5x + 6 = 0 を解きましょう。
問題4
x² - 5x + 6 = 0 を解きましょう。
問題5
x² + 3x = 0 を解きましょう。
問題6
x² - 16 = 0 を解きましょう。
答え
問題1：x = 3、-3
問題2：x = 6、-6
問題3：x = -2、-3
問題4：x = 2、3
問題5：x(x + 3) = 0、x = 0、-3
問題6：(x + 4)(x - 4) = 0、x = -4、4
まとめ
2次方程式は、x² が出てくるため、最初は難しく見えるかもしれません。
でも、基本の考え方は一つずつ整理できます。
2次方程式とは、x² が出てくる方程式です。
x² は x × x という意味です。
2次方程式では、答えが2つ出ることがあります。
x² = 数字 の形は、平方根で解けます。
x² + 5x + 6 = 0 のような形は、因数分解で解けます。
因数分解しにくいときは、解の公式を使います。
2次方程式がわかると、2次関数や図形の面積問題にもつながります。
まずは、「x²とは何か」「右辺を0にする理由」「因数分解して解く流れ」を大切にしましょう。