このページで学ぶこと
連立方程式とは、2つ以上の方程式を使って、2つ以上のわからない数を求める方法です。
方程式では、主に x という1つのわからない数を求めました。
でも、問題によっては、
・りんごの個数もわからない
・みかんの個数もわからない
・大人の人数もわからない
・子どもの人数もわからない
というように、わからないものが2つ出てくることがあります。
そのようなときに使うのが、連立方程式です。
・みかんの個数もわからない
・大人の人数もわからない
・子どもの人数もわからない
図で見る：連立方程式の交わる点
このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。
連立方程式とは何か？
連立方程式とは、2つ以上の方程式を組み合わせて考える式のことです。 たとえば、次のような形です。
x + y = 10
x - y = 2
このように、式が2つあります。
そして、x と y という2つのわからない数があります。
x - y = 2
連立方程式とは、複数の式を同時に成り立たせる x と y を探すことです。
この例では、答えは、
x = 6
y = 4
です。
なぜなら、
y = 4
6 + 4 = 10
6 - 4 = 2
となり、2つの式がどちらも正しくなるからです。
6 - 4 = 2
なぜ式が2つ必要なの？
わからない数が1つだけなら、式も1つで求められることが多いです。 たとえば、
x + 3 = 10
なら、x は 7 とわかります。
でも、
x + y = 10
だけでは、答えが1つに決まりません。
たとえば、
x = 1、y = 9
x = 2、y = 8
x = 3、y = 7
x = 4、y = 6
など、いろいろな答えが考えられます。
だから、もう1つヒントになる式が必要です。
x = 2、y = 8
x = 3、y = 7
x = 4、y = 6
x + y = 10
x - y = 2
2つの式があることで、x と y の値を1つに決めることができます。
x - y = 2
わからない数が2つあるときは、基本的に式も2つ必要です。
x と y は何を表しているの？
連立方程式では、x と y という2つの文字が出てくることが多いです。
x = 1つ目のわからない数
y = 2つ目のわからない数
たとえば、次のような問題があるとします。
y = 2つ目のわからない数
りんごとみかんを合わせて10個買いました。
りんごはみかんより2個多いです。
このとき、
りんごはみかんより2個多いです。
りんごの個数を x 個
みかんの個数を y 個
と決めることができます。
すると、
みかんの個数を y 個
x + y = 10
x = y + 2
という2つの式ができます。
x = y + 2
連立方程式では、最初に「x は何か」「y は何か」を決めることがとても大切です。
連立方程式を解くとは？
連立方程式を解くとは、2つの式をどちらも正しくする x と y を見つけることです。
x + y = 10
x - y = 2
この式では、
x - y = 2
x = 6
y = 4
が答えです。
確認してみます。
y = 4
6 + 4 = 10
6 - 4 = 2
どちらの式も正しいですね。
6 - 4 = 2
連立方程式の答えは、x と y のセットで考えます。
解き方は大きく2つある
中学数学でよく使う連立方程式の解き方は、主に2つです。| 解き方 | 意味 | 向いている式 |
|---|---|---|
| 加減法 | 2つの式を足したり引いたりして、文字を1つ消す方法 | x や y の係数がそろっている式 |
| 代入法 | 片方の式をもう片方の式に入れて、文字を1つにする方法 | x = ○○、y = ○○ の形がある式 |
どちらの方法も、目的は同じです。
2つある文字を、まず1つに減らすことです。
2つある文字を、まず1つに減らすことです。
加減法とは何か？
加減法とは、2つの式を足したり引いたりして、文字を1つ消す方法です。 たとえば、
x + y = 10
x - y = 2
という連立方程式を考えます。
この2つの式を足します。
x - y = 2
(x + y) + (x - y) = 10 + 2
左側の +y と -y は消えます。
2x = 12
だから、
x = 6
です。
x = 6 がわかったら、もとの式に入れます。
x + y = 10
x に 6 を入れると、
6 + y = 10
なので、
y = 4
です。
加減法は、2つの式を足したり引いたりして、x か y のどちらかを消す方法です。
なぜ文字を消すの？
連立方程式が難しく見える理由は、x と y の2つが同時に出てくるからです。 そこで、まずどちらか1つの文字を消します。
x と y がある式
↓
x だけの式、または y だけの式にする
文字が1つになれば、普通の方程式と同じように解けます。
↓
x だけの式、または y だけの式にする
連立方程式を解くコツは、まず文字を1つに減らすことです。
例題1：加減法で解く
次の連立方程式を解いてみましょう。
x + y = 8
x - y = 2
2つの式を足します。
x - y = 2
(x + y) + (x - y) = 8 + 2
+y と -y が消えます。
2x = 10
だから、
x = 5
x = 5 を、x + y = 8 に入れます。
5 + y = 8
すると、
y = 3
答えは、
x = 5、y = 3
です。
確認すると、
5 + 3 = 8
5 - 3 = 2
となり、どちらも正しいです。
5 - 3 = 2
代入法とは何か？
代入法とは、片方の式で表された文字を、もう片方の式に入れる方法です。 たとえば、
x = y + 2
x + y = 10
という連立方程式があります。
1つ目の式で、
x + y = 10
x = y + 2
とわかっています。
つまり、x のかわりに y + 2 を入れることができます。
2つ目の式、
x + y = 10
の x のところに y + 2 を入れます。
(y + 2) + y = 10
すると、y だけの式になります。
2y + 2 = 10
2を移項します。
2y = 8
だから、
y = 4
y = 4 を x = y + 2 に入れると、
x = 4 + 2 = 6
答えは、
x = 6、y = 4
です。
加減法と代入法はどちらを使えばいい？
最初は、どちらの方法を使えばいいか迷うかもしれません。 目安は次のように考えるとわかりやすいです。| 式の形 | おすすめの方法 |
|---|---|
| x + y = 10 x - y = 2 |
加減法 |
| x = y + 2 x + y = 10 |
代入法 |
| 2x + y = 9 3x - y = 6 |
加減法 |
| y = 2x + 1 x + y = 10 |
代入法 |
文字の係数がそろっていて、足したり引いたりすると消えそうなら加減法。
x = ○○ や y = ○○ の形があるなら代入法が使いやすいです。
x = ○○ や y = ○○ の形があるなら代入法が使いやすいです。
例題2：少し本格的な加減法
次の連立方程式を解いてみましょう。
2x + y = 9
x - y = 3
この2つの式を足すと、+y と -y が消えます。
x - y = 3
(2x + y) + (x - y) = 9 + 3
すると、
3x = 12
だから、
x = 4
x = 4 を、x - y = 3 に入れます。
4 - y = 3
4 - y = 3 なので、y = 1 です。
答えは、
x = 4、y = 1
です。
文章問題で連立方程式を使う
連立方程式は、文章問題でよく使います。 次の問題を見てください。
りんごとみかんを合わせて10個買いました。
りんごはみかんより2個多いです。
りんごとみかんは、それぞれ何個ですか？
まず、わからないものを文字で表します。
りんごはみかんより2個多いです。
りんごとみかんは、それぞれ何個ですか？
りんごの個数を x 個
みかんの個数を y 個
「合わせて10個」なので、
みかんの個数を y 個
x + y = 10
「りんごはみかんより2個多い」ので、
x = y + 2
これで連立方程式ができます。
x + y = 10
x = y + 2
x のかわりに y + 2 を入れます。
x = y + 2
(y + 2) + y = 10
すると、
2y + 2 = 10
2を移項します。
2y = 8
だから、
y = 4
みかんは4個です。
りんごはみかんより2個多いので、
x = 4 + 2 = 6
りんごは6個です。
答え：りんご6個、みかん4個
文章問題で式を作る流れ
連立方程式の文章問題は、次の順番で考えると解きやすくなります。- 何を聞かれているかを確認する
- わからないものを x と y にする
- 問題文から1つ目の式を作る
- 問題文から2つ目の式を作る
- 加減法か代入法で解く
- 答えが問題文に合っているか確認する
文章問題が苦手な子は、まず「x は何か」「y は何か」を日本語で書くことから始めましょう。
よくあるつまずき
連立方程式では、次のようなところでつまずきやすいです。間違いやすい考え方
・x と y が何を表すか決めない・式が1つだけで解こうとする
・足すのか引くのか迷う
・代入するときにかっこを忘れる
・x だけ求めて y を求め忘れる
・答えを問題文に戻して確認しない
正しい考え方
・最初に x と y の意味を書く・わからない数が2つなら式も2つ作る
・消えそうな文字を探す
・代入はかっこを使って丁寧にする
・答えは x と y のセットで書く
・最後に確認する
連立方程式は、最初の式作りが一番大切です。
計算に入る前に、x と y が何かをはっきりさせましょう。
計算に入る前に、x と y が何かをはっきりさせましょう。
確認問題
連立方程式の意味を確認してみましょう。
問題1
次の連立方程式を解きましょう。
x + y = 7
x - y = 1
次の連立方程式を解きましょう。
x + y = 7
x - y = 1
問題2
次の連立方程式を解きましょう。
x + y = 12
x = y + 4
次の連立方程式を解きましょう。
x + y = 12
x = y + 4
問題3
次の連立方程式を解きましょう。
2x + y = 11
x - y = 1
次の連立方程式を解きましょう。
2x + y = 11
x - y = 1
問題4
りんごとみかんを合わせて9個買いました。
りんごはみかんより3個多いです。
りんごとみかんは、それぞれ何個ですか？
りんごとみかんを合わせて9個買いました。
りんごはみかんより3個多いです。
りんごとみかんは、それぞれ何個ですか？
答え
問題1：x = 4、y = 3
問題2：x = 8、y = 4
問題3：x = 4、y = 3
問題4：りんご6個、みかん3個
問題2：x = 8、y = 4
問題3：x = 4、y = 3
問題4：りんご6個、みかん3個
まとめ
連立方程式は、最初は難しく見えるかもしれません。 でも、考え方はとてもシンプルです。
連立方程式とは、2つ以上の式を使って、2つ以上のわからない数を求める方法です。
x と y は、それぞれ違うわからない数を表します。
連立方程式を解くとは、2つの式をどちらも正しくする x と y を見つけることです。
加減法は、足したり引いたりして文字を1つ消す方法です。
代入法は、片方の式をもう片方の式に入れる方法です。
連立方程式がわかると、文章問題や一次関数の理解にもつながります。
まずは、「x は何か」「y は何か」を書くところから始めましょう。
x と y は、それぞれ違うわからない数を表します。
連立方程式を解くとは、2つの式をどちらも正しくする x と y を見つけることです。
加減法は、足したり引いたりして文字を1つ消す方法です。
代入法は、片方の式をもう片方の式に入れる方法です。