このページで学ぶこと
因数分解とは、たし算やひき算の形になっている式を、かけ算の形に直すことです。
因数分解は、高校受験数学でとてもよく出ます。
でも、最初から公式だけを覚えようとすると、
「何をしているのかわからない」
「どの数字を選べばいいのかわからない」
「展開と因数分解の違いがわからない」
「x² + 5x + 6 を見ても何をすればいいかわからない」
となりやすいです。
このページでは、因数分解を「暗記するもの」ではなく、「かけ算の形を探す作業」として説明します。
「どの数字を選べばいいのかわからない」
「展開と因数分解の違いがわからない」
「x² + 5x + 6 を見ても何をすればいいかわからない」
図で見る：因数分解
このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。
因数分解とは何か？
因数分解とは、式をかけ算の形に直すことです。
2x + 6 → 2(x + 3)
このように、たし算の形になっている式を、かけ算の形に直します。
因数分解とは、式の中に隠れている「共通するかけ算」を見つけることです。
「因数」という言葉は難しく聞こえますが、最初は、
かけ算の部品
と考えるとわかりやすいです。
つまり因数分解は、式を「かけ算の部品」に分けることです。
展開と因数分解は反対の関係
因数分解を理解するには、先に展開との関係を知るとわかりやすいです。
展開
2(x + 3) → 2x + 6
2(x + 3) → 2x + 6
↔
因数分解
2x + 6 → 2(x + 3)
2x + 6 → 2(x + 3)
展開：かっこを外す
因数分解：かっこを作る
展開が「ばらす」作業なら、因数分解は「まとめる」作業です。
因数分解：かっこを作る
まずは数字で考えてみよう
いきなり文字が出てくると難しく見えるので、まずは数字で考えます。
6 + 9
6 と 9 は、どちらも 3 で割れます。
6 = 3 × 2
9 = 3 × 3
だから、
9 = 3 × 3
6 + 9 = 3 × 2 + 3 × 3
どちらにも 3 があるので、3 でまとめることができます。
6 + 9 = 3(2 + 3)
これが因数分解の基本の考え方です。
共通しているものを見つけて、かっこの外に出す。これが因数分解の第一歩です。
共通因数とは何か？
共通因数とは、式の中の項に共通しているかけ算の部品のことです。 たとえば、
2x + 6
を見てみます。
2x は、
2 × x
6 は、
2 × 3
と考えられます。
どちらにも 2 があります。
この共通している 2 を、共通因数といいます。
共通因数とは、どの項にも共通して入っているかけ算の部品です。
例題1：2x + 6 を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
2x + 6
まず、2x と 6 に共通しているものを探します。
2x = 2 × x
6 = 2 × 3
どちらにも 2 があります。
だから、2 をかっこの外に出します。
6 = 2 × 3
2x + 6 = 2(x + 3)
これで因数分解できました。
2(x + 3) を展開すると 2x + 6 に戻ります。
因数分解したあとは、展開して戻るか確認できます。
因数分解したあとは、展開して戻るか確認できます。
例題2：3x + 12 を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
3x + 12
3x と 12 に共通しているものを探します。
3x = 3 × x
12 = 3 × 4
どちらにも 3 があります。
だから、
12 = 3 × 4
3x + 12 = 3(x + 4)
になります。
まずは「共通している数字は何か」を探しましょう。
x が共通している場合
数字だけでなく、文字が共通していることもあります。
x² + 5x
x² は、
x × x
5x は、
5 × x
と考えられます。
どちらにも x があります。
だから、x をかっこの外に出します。
x² + 5x = x(x + 5)
x が全部の項に入っているときは、x でまとめることができます。
例題3：4x² + 8x を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
4x² + 8x
まず、共通している数字を探します。
4 と 8 は、どちらも 4 で割れます。
次に、文字を見ます。
x² と x は、どちらにも x が入っています。
つまり、共通因数は 4x です。
4x² + 8x = 4x(x + 2)
確認してみます。
4x(x + 2) = 4x² + 8x
元の式に戻るので、正しいです。
共通因数は、数字だけでなく文字も一緒に探しましょう。
x² + 5x + 6 型の因数分解
高校受験でよく出るのが、次のような形です。
x² + 5x + 6
これは、
(x + □)(x + □)
の形に直すことを考えます。
展開を思い出してみましょう。
(x + 2)(x + 3)
を展開すると、
x² + 3x + 2x + 6
3x と 2x をまとめると、
x² + 5x + 6
になります。
つまり、
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
です。
x² + 5x + 6 の因数分解では、足して5、かけて6になる2つの数を探します。
「足して○、かけて○」とは？
次の式を見てください。
x² + 5x + 6
このとき探すのは、
足すと 5 になる
かけると 6 になる
2つの数です。
2 と 3 は、
かけると 6 になる
2 + 3 = 5
2 × 3 = 6
なので、ぴったりです。
だから、
2 × 3 = 6
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
になります。
ここで大切なのは、最後の数字だけを見るのではなく、真ん中の x の係数も見ることです。
例題4：x² + 7x + 10 を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
x² + 7x + 10
探すのは、
足して 7
かけて 10
になる2つの数です。
2 と 5 は、
かけて 10
2 + 5 = 7
2 × 5 = 10
です。
だから、
2 × 5 = 10
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
になります。
例題5：x² - 5x + 6 を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
x² - 5x + 6
最後の数は +6 です。
かけて +6 になる2つの数を考えます。
さらに、足して -5 になる必要があります。
-2 と -3 は、
-2 + (-3) = -5
(-2) × (-3) = +6
です。
だから、
(-2) × (-3) = +6
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
になります。
マイナスがあるときは、足した結果とかけた結果の両方を確認しましょう。
例題6：x² + x - 6 を因数分解する
次の式を因数分解してみましょう。
x² + x - 6
x の前に数字がないように見えますが、これは 1x という意味です。
x² + 1x - 6
探すのは、
足して 1
かけて -6
になる2つの数です。
3 と -2 は、
かけて -6
3 + (-2) = 1
3 × (-2) = -6
です。
だから、
3 × (-2) = -6
x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
になります。
公式を使う因数分解
因数分解には、よく出る形があります。 最初からすべて暗記しようとしなくても大丈夫です。 まずは「展開したら戻るか」を確認しながら覚えましょう。| 形 | 因数分解 | 意味 |
|---|---|---|
| x² + 2ax + a² | (x + a)² | 同じかっこが2つある形 |
| x² - 2ax + a² | (x - a)² | マイナスつきの同じかっこ |
| x² - a² | (x + a)(x - a) | 2乗の差 |
公式は、よく出る因数分解を短くできる便利な道具です。
x² - 9 の因数分解
次の式を見てください。
x² - 9
9 は、3² と考えることができます。
x² - 3²
これは、2乗の差の形です。
x² - 3² = (x + 3)(x - 3)
だから、
x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
になります。
x² - 数字の2乗 の形は、(x + 数字)(x - 数字) にできます。
因数分解したら展開して確認する
因数分解が正しいか不安なときは、展開して元に戻るかを確認します。 たとえば、
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
が正しいか確認します。
右側を展開すると、
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
元の式に戻りました。
だから、この因数分解は正しいです。
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
因数分解は、展開して戻せるか確認できるのが大きなポイントです。
因数分解は何に使うの？
因数分解は、ただの計算練習ではありません。 高校受験では、特に次の内容でよく使います。
・2次方程式を解くとき
・式を簡単にするとき
・図形や関数の問題で式を整理するとき
・計算を楽にするとき
たとえば、
・式を簡単にするとき
・図形や関数の問題で式を整理するとき
・計算を楽にするとき
x² + 5x + 6 = 0
という2次方程式は、因数分解すると、
(x + 2)(x + 3) = 0
となり、答えを求めやすくなります。
因数分解は、このあと学ぶ2次方程式につながる大切な準備です。
よくある間違い
因数分解では、次のような間違いがよくあります。間違いやすい考え方
・とりあえず公式に当てはめようとする・共通因数を見落とす
・足して○だけを見てしまう
・かけて○だけを見てしまう
・マイナスの符号を間違える
・展開して確認しない
正しい考え方
・まず共通するものを探す・かけ算の形に直すと考える
・足した結果とかけた結果の両方を見る
・マイナスは符号ごと考える
・最後に展開して確認する
因数分解が苦手なうちは、答えを出したあとに必ず展開して確認しましょう。
確認問題
因数分解の意味を確認してみましょう。
問題1
2x + 8 を因数分解しましょう。
2x + 8 を因数分解しましょう。
問題2
3x + 15 を因数分解しましょう。
3x + 15 を因数分解しましょう。
問題3
x² + 4x を因数分解しましょう。
x² + 4x を因数分解しましょう。
問題4
x² + 6x + 8 を因数分解しましょう。
x² + 6x + 8 を因数分解しましょう。
問題5
x² - 7x + 12 を因数分解しましょう。
x² - 7x + 12 を因数分解しましょう。
問題6
x² - 16 を因数分解しましょう。
x² - 16 を因数分解しましょう。
答え
問題1：2(x + 4)
問題2：3(x + 5)
問題3：x(x + 4)
問題4：(x + 2)(x + 4)
問題5：(x - 3)(x - 4)
問題6：(x + 4)(x - 4)
問題2：3(x + 5)
問題3：x(x + 4)
問題4：(x + 2)(x + 4)
問題5：(x - 3)(x - 4)
問題6：(x + 4)(x - 4)
まとめ
因数分解は、最初は難しく見えるかもしれません。 でも、意味はとてもシンプルです。
因数分解とは、式をかけ算の形に直すことです。
展開とは反対の関係です。
まず共通因数を探します。
x² + 5x + 6 型では、足して5、かけて6になる数を探します。
因数分解したら、展開して元に戻るか確認できます。
因数分解がわかると、2次方程式や関数の理解にもつながります。
まずは、「かけ算の形に直す」という意味を大切にしましょう。
展開とは反対の関係です。
まず共通因数を探します。
x² + 5x + 6 型では、足して5、かけて6になる数を探します。
因数分解したら、展開して元に戻るか確認できます。