意味からわかる高校受験

二次関数とは何か？

放物線と y=ax² の意味を、基礎からやさしく解説

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このページで学ぶこと

二次関数とは、x² が出てくる関数です。グラフにすると、放物線という曲がった線になります。
一次関数では、
y = ax + b
のような式を学びました。 二次関数では、
y = ax²
のように、x² が出てきます。 ここでつまずきやすいのは、
「x²って何？」
「一次関数と何が違うの？」
「なぜグラフが曲がるの？」
「a は何を表しているの？」
「放物線って何？」
「表から何を見ればいいの？」
という部分です。 このページでは、二次関数を意味からゆっくり説明します。

図で見る：二次関数

このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。

二次関数の放物線グラフを説明する図。
二次関数は放物線の形になります。表とグラフを一緒に見ると理解しやすくなります。

二次関数とは何か？

二次関数とは、x² が出てくる関数です。 たとえば、次のような式です。
y = x²
x² は、
x × x
という意味です。 つまり、x に入れる数を2回かけて、y の値を求めます。
二次関数とは、x を決めると、x² を使って y が決まる関係です。
一次関数と同じように、x を決めると y が決まります。 ただし、二次関数では x² が出てくるので、増え方が一定ではありません。

一次関数と二次関数の違い

一次関数と二次関数の違いを見てみましょう。
種類 例 特徴 グラフ
一次関数 y = 2x + 1 x が1乗で出てくる 直線
二次関数 y = x² x² が出てくる 放物線
一次関数は、x が1増えると y が一定の量だけ増えます。 でも、二次関数はそうではありません。
一次関数は直線。
二次関数は放物線。
この違いをまず覚えましょう。

x²とは何か？

二次関数で大切なのが、x² の意味です。
x² = x × x
たとえば、x = 3 なら、
x² = 3 × 3 = 9
です。 x = -3 のときも、
x² = (-3) × (-3) = 9
です。 つまり、3 と -3 は、2乗するとどちらも 9 になります。
二次関数では、プラスの数とマイナスの数で、同じ y になることがあります。
これが、グラフが左右対称になる理由につながります。

y = x² の表を作ってみよう

次の二次関数を考えます。
y = x²
x に -3 から 3 までの数を入れてみましょう。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
表を見ると、x が -3 と 3 のとき、y はどちらも 9 です。 x が -2 と 2 のとき、y はどちらも 4 です。
y = x² では、x がプラスでもマイナスでも、2乗すると y は同じになることがあります。

二次関数のグラフは放物線になる

y = x² の表の点をグラフにすると、次のような曲がった線になります。
x y (-3,9) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) y = x²
このような曲がったグラフを、放物線といいます。
二次関数のグラフは、放物線になります。
放物線は、左右対称の曲線です。

なぜグラフが曲がるの？

一次関数では、x が1増えるたびに、y は同じ量ずつ増えます。 たとえば、
y = 2x
なら、x が1増えると、y はいつも2ずつ増えます。 でも、二次関数の
y = x²
では、y の増え方が一定ではありません。
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
yの増え方 - +1 +3 +5 +7
y の増え方が、+1、+3、+5、+7 と変わっています。
二次関数のグラフが曲がるのは、y の増え方が一定ではないからです。

y = ax² の a は何を表しているの？

二次関数でよく出る形が、
y = ax²
です。 この a は、放物線の開き方や向きを決めます。
a の値 グラフの向き 開き方
a が正の数 上に開く U字型
a が負の数 下に開く 山型
a の絶対値が大きい 同じ向き 細くなる
a の絶対値が小さい 同じ向き 広くなる
y = ax² の a は、放物線の向きと開き方を決める数字です。

a がプラスのとき

たとえば、
y = x²
では、a = 1 です。 a がプラスなので、グラフは上に開きます。
a がプラスなら、放物線は上に開きます。
上に開く放物線は、下に一番低い点があります。 y = x² の場合、その点は、
(0, 0)
です。

a がマイナスのとき

次のような二次関数を考えます。
y = -x²
この場合、a = -1 です。 a がマイナスなので、グラフは下に開きます。
a がマイナスなら、放物線は下に開きます。
下に開く放物線は、上に一番高い点があります。 y = -x² の場合、その点は、
(0, 0)
です。

a の大きさで開き方が変わる

次の2つを比べてみましょう。
y = x²
y = 2x²
x = 2 のとき、
y = x² なら y = 4
y = 2x² なら y = 8
y = 2x² のほうが、同じ x でも y が大きくなります。 そのため、グラフは細く見えます。 今度は、
y = 1/2x²
を考えると、同じ x でも y は小さくなります。 そのため、グラフは広く見えます。
a の絶対値が大きいほど細い放物線、a の絶対値が小さいほど広い放物線になります。

頂点とは何か？

二次関数のグラフには、頂点という大切な点があります。 頂点とは、放物線の一番下、または一番上の点です。
y = x²
の頂点は、
(0, 0)
です。
頂点とは、放物線の折り返し地点のような点です。
中学数学では、まず y = ax² の形をしっかり理解しましょう。 高校数学では、頂点が動いた形も詳しく学びます。

二次関数は何に使うの？

二次関数は、面積や落下運動、放物線の形をしたものに関係します。 高校受験では、特に次のような問題に出ます。
・グラフ上の点を求める問題
・a の値を求める問題
・一次関数の直線と交わる問題
・図形とグラフを組み合わせた問題
・面積が変化する問題
たとえば、正方形の1辺の長さを x cm、面積を y cm² とすると、
y = x²
と表せます。
二次関数は、「2乗によって決まる量」を表すときに使われます。

グラフ上の点とは何か？

二次関数の問題では、「点がグラフ上にある」という言い方がよく出ます。 これは、その点の x と y が、式に当てはまるという意味です。 たとえば、
y = x²
のグラフ上に、点 (2, 4) はあります。 なぜなら、x = 2 を入れると、
y = 2² = 4
となり、y の値が4になるからです。 反対に、点 (2, 5) は y = x² のグラフ上にはありません。 なぜなら、
2² = 4
で、y = 5 にはならないからです。
点がグラフ上にあるかどうかは、x と y を式に入れて確認できます。

a の値を求める問題

高校受験では、次のような問題がよく出ます。
二次関数 y = ax² のグラフが、点 (2, 8) を通る。
a の値を求めなさい。
点 (2, 8) を通るということは、
x = 2
y = 8
を式に入れればよいということです。
y = ax²
に x = 2、y = 8 を入れます。
8 = a × 2²
2² = 4 なので、
8 = 4a
だから、
a = 2
です。
点がグラフ上にあるときは、その点の x と y を式に代入します。

例題1：y = x² で x = 4 のとき

次の二次関数を考えます。
y = x²
x = 4 のとき、
y = 4² = 16
です。 だから、点で表すと、
(4, 16)
になります。
x の値を式に入れると、y の値が求められます。

例題2：y = 2x² で x = -3 のとき

次の二次関数を考えます。
y = 2x²
x = -3 のとき、
y = 2 × (-3)²
(-3)² = 9 なので、
y = 2 × 9 = 18
です。
マイナスの数を2乗するときは、かっこをつけて考えると間違いにくいです。

例題3：点がグラフ上にあるか確認する

次の二次関数を考えます。
y = 3x²
点 (2, 12) は、このグラフ上にあるでしょうか。 x = 2 を式に入れます。
y = 3 × 2²
2² = 4 なので、
y = 3 × 4 = 12
y = 12 になりました。 だから、点 (2, 12) はグラフ上にあります。
点の y の値と、式で計算した y の値が同じなら、その点はグラフ上にあります。

一次関数との交点とは？

二次関数の問題では、一次関数の直線と交わる問題も出ます。 たとえば、
y = x²
y = x + 2
のような2つのグラフがあるとします。 交点とは、2つのグラフが交わる点です。 その点では、2つの式の y の値が同じになります。 だから、
x² = x + 2
という方程式を作ることができます。 これを整理すると、
x² - x - 2 = 0
となり、2次方程式で解くことができます。
二次関数と一次関数の交点を求める問題では、2つの式をつなげて2次方程式を作ることがあります。

よくあるつまずき

二次関数では、次のようなところでつまずきやすいです。

間違いやすい考え方

・x² の意味があいまい
・一次関数と二次関数の違いがわからない
・y = ax² の a をただ暗記する
・マイナスの2乗で符号を間違える
・点がグラフ上にある意味がわからない
・表を見ずにグラフだけで考えようとする

正しい考え方

・x² は x × x
・一次関数は直線、二次関数は放物線
・a は向きと開き方を決める
・(-3)² のようにかっこをつけて考える
・点の x と y を式に入れて確認する
・まず表を作って変化を見る
二次関数が苦手な子は、まず表を作り、x と y の変化を目で確認することが大切です。

確認問題

二次関数の意味を確認してみましょう。
問題1
y = x² で、x = 5 のとき y はいくつですか？
問題2
y = x² で、x = -4 のとき y はいくつですか？
問題3
y = 2x² で、x = 3 のとき y はいくつですか？
問題4
y = ax² のグラフが点 (2, 12) を通ります。a の値はいくつですか？
問題5
y = 3x² のグラフ上に、点 (2, 12) はありますか？

答え

問題1：y = 25
問題2：y = 16
問題3：y = 2×3² = 18
問題4：12 = a×2²、12 = 4a、a = 3
問題5：あります。3×2² = 12 になるからです。

まとめ

二次関数は、一次関数より難しく見えるかもしれません。 でも、意味を整理すると理解しやすくなります。
二次関数とは、x² が出てくる関数です。
x² は x × x という意味です。
二次関数のグラフは放物線になります。
y = ax² の a は、放物線の向きと開き方を決めます。
a がプラスなら上に開き、マイナスなら下に開きます。
点がグラフ上にあるかは、x と y を式に入れて確認できます。
二次関数がわかると、2次方程式や図形とグラフの問題にも強くなります。 まずは、「x²とは何か」「表を作るとどう変わるか」「グラフは放物線になる」という3つを大切にしましょう。

次に学びたい内容

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