このページで学ぶこと
平方根とは、「2乗すると、その数になる数」のことです。
平方根は、2次方程式や三平方の定理でよく使います。
でも、平方根が苦手な子は、
「√って何？」
「平方根と2乗の関係がわからない」
「なぜ答えが2つあるの？」
「√4 は2なのに、4の平方根は±2ってどういうこと？」
「√2 や √3 は何の数なの？」
というところで止まりやすいです。
このページでは、平方根を「2乗の反対」として、ゆっくり説明します。
平方根とは何か？
平方根とは、2乗すると、その数になる数のことです。
たとえば、
3² = 9
これは、
3 × 3 = 9
という意味です。
このとき、3は9の平方根です。
でも、9の平方根は3だけではありません。
(-3)² = 9
でもあります。
つまり、9の平方根は、
3 と -3
です。
平方根とは、2乗するとその数になる数です。
9の平方根は、3と-3です。
2乗とは何か？
2乗とは、同じ数を2回かけることです。
5² = 5 × 5 = 25
「5²」は、「5の2乗」と読みます。
ほかにも、
2² = 4
4² = 16
10² = 100
です。
平方根は、この2乗と反対向きに考えます。
平方根は「2乗の反対」
たとえば、
4² = 16
なら、4を2乗すると16になります。
反対に、
16の平方根は何？
と聞かれたら、
2乗して16になる数は何？
と考えます。
4² = 16 なので、4は16の平方根です。
さらに、(-4)² = 16 なので、-4も16の平方根です。
16の平方根は、4と-4です。
なぜ平方根は2つあるの？
平方根で大切なのは、答えが2つあることが多いという点です。
5² = 25
(-5)² = 25
どちらも2乗すると25になります。
なぜなら、マイナス同士をかけるとプラスになるからです。
(-5) × (-5) = 25
だから、25の平方根は、
5 と -5
です。
平方根を答えるときは、プラスとマイナスの両方を忘れないようにしましょう。
√とは何か？
√は、平方根を表す記号です。
√4 = 2
これは、
2乗すると4になる、プラスの数は2
という意味です。
ここで注意したいのは、
√4 は 2
4の平方根は 2 と -2
という違いです。
√4 は、プラスの平方根を表します。
4の平方根を全部答えるなら、
±2
と書きます。
「√4」と「4の平方根」は、少し意味が違います。
√4 は 2、4の平方根は ±2 です。
±とは何か？
平方根では、±という記号がよく出てきます。
±2
は、
2 と -2
という意味です。
±は、「プラスとマイナスの両方」という意味です。
よく出る平方根
平方根でよく出る数を確認しましょう。
| 数 | 平方根 | 理由 |
|---|
| 1 | ±1 | 1² = 1、(-1)² = 1 |
| 4 | ±2 | 2² = 4、(-2)² = 4 |
| 9 | ±3 | 3² = 9、(-3)² = 9 |
| 16 | ±4 | 4² = 16、(-4)² = 16 |
| 25 | ±5 | 5² = 25、(-5)² = 25 |
| 36 | ±6 | 6² = 36、(-6)² = 36 |
| 49 | ±7 | 7² = 49、(-7)² = 49 |
| 64 | ±8 | 8² = 64、(-8)² = 64 |
1、4、9、16、25、36、49、64のように、整数の2乗でできる数は特によく出ます。
√2や√3とは何か？
√4 は 2 になります。
なぜなら、
2² = 4
だからです。
でも、√2 は整数になりません。
1² = 1
2² = 4
なので、2乗して2になる整数はありません。
そのため、√2 はそのまま √2 と書きます。
√2 は、「2乗すると2になる数」です。
整数では表せないので、√2 のまま書きます。
√3 も同じように、
2乗すると3になる数
と考えます。
√の中を簡単にする
√の中に、2乗の数が入っていると、外に出せることがあります。
たとえば、
√12
を考えます。
12は、
12 = 4 × 3
と分けられます。
4は2²なので、√の外に2として出せます。
√12 = √(4 × 3) = 2√3
になります。
√の中に 4、9、16 などの2乗の数があれば、外に出せることがあります。
例題1：49の平方根
49の平方根を求めなさい。
2乗して49になる数を考えます。
7² = 49
(-7)² = 49
だから、49の平方根は、
7 と -7
です。
答え：±7
例題2：√64を求める
√64 を求めなさい。
√64 は、
2乗すると64になるプラスの数
を表します。
8² = 64
なので、
√64 = 8
です。
√64 は 8 です。
64の平方根は ±8 です。
例題3：√18を簡単にする
√18 を簡単にしなさい。
18の中に、2乗の数がないか探します。
18 = 9 × 2
9は3²です。
だから、
√18 = √(9 × 2)
= 3√2
です。
√18 = 3√2
平方根と2次方程式の関係
平方根は、2次方程式を解くときに使います。
たとえば、
x² = 25
という2次方程式を考えます。
これは、
2乗して25になる数は何？
と聞いているのと同じです。
25の平方根は、
±5
なので、
x = ±5
です。
x² = 数字 の形は、平方根を使って解くことができます。
平方根と三平方の定理の関係
平方根は、三平方の定理でも使います。
三平方の定理では、
a² + b² = c²
という形が出てきます。
たとえば、
c² = 25
となったら、
c = 5
と考えます。
これは平方根の考え方です。
三平方の定理では、最後に平方根を使って辺の長さを求めることがあります。
ただし、図形の辺の長さは普通はマイナスにならないので、長さとして答えるときはプラスの値を使います。
平方根でよくあるつまずき
間違いやすい考え方
・平方根と2乗の関係がわからない
・平方根を1つだけ答えてしまう
・√4 と 4の平方根を混同する
・√2 を整数にしようとする
・√18 をそのままにしてしまう
・±の意味がわからない
正しい考え方
・平方根は2乗の反対
・平方根はプラスとマイナスの2つを考える
・√4 は2、4の平方根は±2
・√2 はそのまま表す数
・√の中の2乗の数を探す
・±はプラスとマイナスの両方
平方根が苦手な子は、「2乗すると何になるか」を必ず確認しましょう。
確認問題
問題1
平方根とは何ですか？
問題2
36の平方根を求めましょう。
問題3
√81 を求めましょう。
問題4
√20 を簡単にしましょう。
問題5
x² = 49 を解きましょう。
問題6
√4 と 4の平方根の違いを説明しましょう。
答え
問題1：2乗すると、その数になる数
問題2：±6
問題3：9
問題4：√20 = √(4×5) = 2√5
問題5：x = ±7
問題6：√4 は2。4の平方根は2と-2、つまり±2
まとめ
平方根は、最初は記号が難しく見えるかもしれません。
でも、意味はシンプルです。
平方根とは、2乗するとその数になる数です。
2乗とは、同じ数を2回かけることです。
9の平方根は、3と-3です。
√9 は3です。
±は、プラスとマイナスの両方という意味です。
√2や√3は、整数では表せない平方根です。
平方根は、2次方程式や三平方の定理につながります。
平方根が苦手なときは、「2乗すると何になるか」を一つずつ確認しましょう。
そこがわかると、√の意味も少しずつ見えてきます。