図形の証明とは何か？｜何を書けばいいのかをやさしく解説

このページで学ぶこと

図形の証明とは、「なぜそう言えるのか」を、理由をつけて順番に説明することです。

図形の証明が苦手な子は、計算が苦手というより、

「何を書けばいいのかわからない」
「どこから始めればいいのかわからない」
「合同条件をどう使うのかわからない」
「理由の書き方がわからない」
「図を見ても、何が同じなのかわからない」

というところで止まってしまうことが多いです。このページでは、証明を「難しい文章」ではなく、理由を順番に並べる作業として説明します。

図で見る：図形の証明

このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。

三角形に等しい辺や角を書き込む図。 — 証明問題は、わかっている条件を図に書き込むことから始めると整理しやすくなります。

図形の証明とは何か？

証明とは、「なぜそう言えるのか」を説明することです。たとえば、

△ABC と △DEF は合同である

とだけ書いても、証明にはなりません。大切なのは、

なぜ合同と言えるのか
どの辺が等しいのか
どの角が等しいのか
どの合同条件を使うのか

を順番に書くことです。

証明 = 理由をつけて、結論まで説明すること

証明では、答えだけでなく、そこにたどり着くまでの考え方を書く必要があります。

証明は「説明文」だと考えよう

証明という言葉は難しく聞こえますが、実は「説明文」です。たとえば、友達に、

「この2つの三角形は同じ形だよ」

と言ったとします。友達に「なんで？」と聞かれたら、理由を説明します。

この辺とこの辺が同じ長さだから
この角とこの角が同じ大きさだから
だから合同条件に当てはまるから

というように説明します。これを、数学の言葉で順番に書いたものが証明です。

証明は、思いついたことをバラバラに書くのではなく、相手に伝わるように順番に書くことが大切です。

仮定と結論とは何か？

証明問題では、「仮定」と「結論」を分けて考えることがとても大切です。

言葉	意味	やさしい言い方
仮定	問題文で最初からわかっていること	使ってよいヒント
結論	証明したいこと	最後に言いたいこと

たとえば、問題文に、

AB = DE、AC = DF、∠A = ∠D のとき、△ABC ≡ △DEF を証明しなさい。

と書いてあったら、

仮定：AB = DE、AC = DF、∠A = ∠D
結論：△ABC ≡ △DEF

です。

証明では、仮定を使って、結論までたどり着きます。

証明を書く流れ

図形の証明は、次の順番で考えると書きやすくなります。

何を証明するのかを確認する
どの三角形に注目するか決める
問題文から、等しい辺や角を探す
図から、共通の辺や対頂角などを探す
合同条件や相似条件に当てはめる
最後に、結論を書く

証明は、いきなり文章を書き始めるのではなく、まず「使える材料」を集めることが大切です。

証明でよく使う理由

証明では、「なぜ等しいのか」という理由をよく書きます。よく使う理由を覚えておくと、証明が書きやすくなります。

理由	使う場面
仮定より	問題文に最初から書いてあることを使うとき
共通な辺だから	2つの三角形が同じ辺を使っているとき
対頂角は等しいから	2本の直線が交わってできる向かい合った角を使うとき
平行線の錯角は等しいから	平行線があり、Zの形の角を使うとき
平行線の同位角は等しいから	平行線があり、同じ位置の角を使うとき

証明では、ただ「等しい」と書くだけでなく、「なぜ等しいのか」を書く必要があります。

三角形の合同条件とは何か？

図形の証明でよく使うのが、三角形の合同条件です。合同とは、形も大きさも同じという意味です。三角形の合同条件は、主に次の3つです。

合同条件	やさしい説明
3組の辺がそれぞれ等しい	3つの辺の長さが全部同じ
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい	辺・角・辺が同じ
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい	角・辺・角が同じ

合同条件は、2つの三角形が同じ形・同じ大きさだと言うためのルールです。

合同を証明する基本の形

証明では、次のような流れで書くことが多いです。

証明の基本形

△ABC と △DEF において、
AB = DE ……①
AC = DF ……②
∠A = ∠D ……③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC ≡ △DEF

この形は、証明を書くときの基本になります。

どの三角形について考えているのかを書き、等しいものを3つ集め、合同条件につなげます。

例題：三角形の合同を証明する

次のような図を考えます。

AB = DE、AC = DF、∠A = ∠D のとき、△ABC ≡ △DEF を証明しなさい。

まず、仮定を確認します。

AB = DE
AC = DF
∠A = ∠D

これは、2組の辺とその間の角が等しい形です。だから、合同条件を使えます。

証明

△ABC と △DEF において、
仮定より、AB = DE ……①
仮定より、AC = DF ……②
仮定より、∠A = ∠D ……③

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC ≡ △DEF

このように、仮定を3つ並べて、最後に合同条件を書くのが基本です。

共通な辺を使う証明

証明問題では、「共通な辺」を使うことがよくあります。共通な辺とは、2つの三角形が同じ辺を使っていることです。

たとえば、△ABC と △ADC を比べると、AC はどちらの三角形にも入っています。だから、

AC = AC

と書けます。理由は、

共通な辺だから

です。

共通な辺は、図を見て見つける大切なヒントです。

対頂角を使う証明

対頂角とは、2本の直線が交わったときにできる、向かい合った角のことです。対頂角は等しいです。

証明では、

対頂角は等しいので、∠AOB = ∠COD

のように書くことがあります。

2本の直線が交わっていたら、対頂角が使えないか確認しましょう。

平行線の角を使う証明

平行線があるときは、角が等しいことを使える場合があります。よく使うのは、錯角と同位角です。

名前	やさしい説明
錯角	Zの形に見える角
同位角	同じ位置にある角

平行線が出てきたら、「錯角」「同位角」が使えるか考えましょう。

証明では、

平行線の錯角は等しいので、∠ABC = ∠BCD

のように理由を書きます。

証明で使う記号

証明では、いくつかの記号が出てきます。

記号	読み方	意味
△ABC	三角形ABC	A、B、Cを頂点にもつ三角形
∠ABC	角ABC	Bを中心とする角
AB = CD	ABイコールCD	辺ABと辺CDの長さが等しい
△ABC ≡ △DEF	三角形ABC合同三角形DEF	2つの三角形が合同
AB ∥ CD	AB平行CD	直線ABと直線CDが平行

∠ABC は、真ん中の B が角の場所を表します。ここを間違えやすいので注意しましょう。

証明の書き方テンプレート

証明が苦手な子は、最初はテンプレートに当てはめて書くとよいです。

証明テンプレート

△□□□ と △□□□ において、

○○ = ○○ ……①
理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

○○ = ○○ ……②
理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

○○ = ○○ ……③
理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

①②③より、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ので、
△□□□ ≡ △□□□

証明は、等しいものを3つ集めて、合同条件につなげる文章だと考えると書きやすくなります。

証明が苦手な子のための考え方

証明問題を見たら、次の順番で印をつけてみましょう。

問題文に書いてある等しい辺や角に線を引く
図に同じ印をつける
共通な辺がないか探す
対頂角がないか探す
平行線があるなら錯角・同位角を探す
合同条件3つにそろうか確認する

証明は、いきなり文章を書くより、図に印をつけて材料を集めるのが先です。

証明と相似の関係

図形の証明では、合同だけでなく相似もよく出ます。合同と相似の違いは次のように考えます。

言葉	意味	やさしい説明
合同	形も大きさも同じ	ぴったり重なる
相似	形は同じで大きさが違ってもよい	拡大・縮小した関係

まず合同の証明に慣れてから、相似の証明に進むと理解しやすくなります。

よくあるつまずき

図形の証明では、次のようなところでつまずきやすいです。

間違いやすい考え方

・答えだけを書いてしまう
・理由を書かない
・どの三角形を比べるのか決めない
・仮定と結論を分けない
・共通な辺を見落とす
・合同条件を書かない
・記号の順番を適当に書く

正しい考え方

・理由を順番に書く
・「仮定より」など理由をつける
・最初に比べる三角形を書く
・仮定は使えるヒント、結論はゴール
・図を見て共通な辺を探す
・最後に合同条件を書く
・対応する順番に注意する

証明が苦手な子は、まず「何を証明するのか」と「どの三角形を比べるのか」を確認しましょう。

確認問題

図形の証明の基本を確認してみましょう。

問題1
証明とは、何を説明することですか？

問題2
仮定とは何ですか？

問題3
結論とは何ですか？

問題4
三角形の合同条件を1つ書きましょう。

問題5
2つの三角形が同じ辺を使っているとき、その辺は何といいますか？

答え

問題1：「なぜそう言えるのか」を理由をつけて説明すること
問題2：問題文で最初からわかっていること
問題3：証明したいこと
問題4：例：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
問題5：共通な辺

まとめ

図形の証明は、最初はとても難しく感じるかもしれません。でも、証明は特別な才能で書くものではありません。書く順番を覚えれば、少しずつできるようになります。

図形の証明とは、理由をつけて結論まで説明することです。
仮定は、問題文で最初からわかっていることです。
結論は、最後に証明したいことです。
証明では、等しい辺や角を見つけて理由を書きます。
三角形の合同を証明するときは、合同条件に当てはめます。
図に印をつけると、使える材料を見つけやすくなります。

証明が苦手なときは、いきなり文章を書こうとせず、まず図に印をつけて、等しいものを探すことから始めましょう。