このページで学ぶこと
平行線と角では、「同じ大きさになる角」を見つけることが大切です。
図形の証明や相似では、角が等しい理由として、
対頂角は等しい
平行線の錯角は等しい
平行線の同位角は等しい
という言葉がよく出てきます。
でも、苦手な子は、
「錯角ってどこの角？」
「同位角って何？」
「対頂角と錯角の違いがわからない」
「平行線だと、なぜ角が等しいの？」
「証明でどう使えばいいの？」
というところで止まりやすいです。
このページでは、角の名前と見つけ方を、図を使いながら説明します。
平行線とは何か？
平行線とは、どこまでのばしても交わらない2本の直線のことです。
平行であることは、
ℓ ∥ m
のように表します。
「∥」は、平行を表す記号です。
ℓ ∥ m は、「直線ℓと直線mは平行」という意味です。
角を求めるときの基本
図形の角を求めるときは、まず次の3つを探します。
対頂角
錯角
同位角
特に、平行線がある図では、錯角と同位角がよく使われます。
図形問題では、「どの角が等しいか」を見つけることが大切です。
対頂角とは何か？
対頂角とは、2本の直線が交わったときに、向かい合ってできる角のことです。
対頂角は、必ず等しくなります。
対頂角は等しい
たとえば、片方の角が60度なら、向かい合う角も60度です。
対頂角は、平行線がなくても使えます。
2本の直線が交わっていれば使える考え方です。
となり合う角は180度になる
1本の直線の上にできる、となり合う角の和は180度です。
直線上の角の和 = 180°
角度を求める問題では、この考え方もよく使います。
となり合う角が直線を作っているとき、2つの角を足すと180度です。
錯角とは何か？
錯角とは、平行な2本の直線に、1本の直線が交わったときにできる角の組です。
形としては、アルファベットの Z のような位置にあります。
平行線では、錯角は等しくなります。
平行線の錯角は等しい
錯角は、Zの形で探すと見つけやすいです。
錯角が等しくなるのは、2本の線が平行なときです。
同位角とは何か？
同位角とは、平行な2本の直線に、1本の直線が交わったときにできる、同じ位置にある角のことです。
形としては、アルファベットの F のような位置にあります。
平行線では、同位角は等しくなります。
平行線の同位角は等しい
同位角は、同じ位置にある角です。
Fの形で探すと見つけやすいです。
錯角と同位角の違い
錯角と同位角は、どちらも平行線でよく使います。
違いは、角の場所です。
| 名前 |
見つけ方 |
成り立つこと |
| 錯角 |
Zの形で探す |
平行線の錯角は等しい |
| 同位角 |
Fの形で探す |
平行線の同位角は等しい |
| 対頂角 |
交わった直線の向かい側 |
対頂角は等しい |
錯角はZ、同位角はF、対頂角は向かい合う角、と覚えると見つけやすくなります。
角度を求める基本パターン
角度の問題では、次の関係をよく使います。
対頂角は等しい
直線上の角の和は180°
三角形の内角の和は180°
平行線の錯角は等しい
平行線の同位角は等しい
角度問題は、知っている角から、等しい角や180度になる角をたどっていく問題です。
例題1：対頂角を使う
2本の直線が交わっています。
片方の角が70°のとき、向かい合う角は何度ですか？
向かい合う角は対頂角です。
対頂角は等しいので、
70°
です。
答え：70°
例題2：直線上の角を使う
直線上に2つの角があります。
片方が120°のとき、もう片方の角は何度ですか？
直線上の角の和は180°です。
だから、
180 - 120 = 60
です。
答え：60°
例題3：平行線の錯角を使う
2本の平行線に1本の直線が交わっています。
ある角が65°のとき、その錯角は何度ですか？
平行線の錯角は等しいので、
65°
です。
答え：65°
錯角が等しいと言えるのは、2本の直線が平行なときです。
例題4：平行線の同位角を使う
2本の平行線に1本の直線が交わっています。
ある角が110°のとき、その同位角は何度ですか？
平行線の同位角は等しいので、
110°
です。
答え：110°
図形の証明でどう使うの？
図形の証明では、辺の長さだけでなく、角が等しいことを説明する必要があります。
そのときに、
対頂角は等しい
平行線の錯角は等しい
平行線の同位角は等しい
という理由を使います。
たとえば、三角形の合同を証明するとき、
1組の辺が等しい
1組の角が等しい
もう1組の角が等しい
のように、角が等しいことを示す場面があります。
その角が、錯角や同位角で等しいとわかれば、証明に使えます。
錯角・同位角は、証明で「角が等しい理由」として使います。
相似でどう使うの？
相似では、2つの三角形の角が等しいことを示す場面が多いです。
特に、三角形の相似条件には、
2組の角がそれぞれ等しい
という条件があります。
平行線がある図では、錯角や同位角を使って、角が等しいことを見つけます。
平行線がある図で、錯角が等しい。
さらに別の錯角も等しい。
だから、2組の角がそれぞれ等しく、三角形が相似。
平行線と角は、相似の証明にもつながります。
平行線と角でよくあるつまずき
間違いやすい考え方
・平行でないのに錯角が等しいと言う
・錯角と同位角を混同する
・Zの形、Fの形を探さない
・対頂角をとなりの角だと思う
・直線上の角が180°になることを忘れる
・証明で理由を書かない
正しい考え方
・錯角や同位角は平行線で使う
・錯角はZの形で探す
・同位角はFの形で探す
・対頂角は向かい合う角
・直線上の角の和は180°
・証明では「なぜ等しいか」を書く
平行線と角が苦手な子は、「Zの形」「Fの形」「向かい合う角」を探す練習をしましょう。
確認問題
問題1
平行線とは何ですか？
問題2
対頂角はどのような角ですか？
問題3
錯角は、何の形で探すと見つけやすいですか？
問題4
同位角は、何の形で探すと見つけやすいですか？
問題5
平行線の錯角はどうなりますか？
問題6
直線上に2つの角があります。片方が135°のとき、もう片方は何度ですか？
答え
問題1：どこまでのばしても交わらない2本の直線
問題2：2本の直線が交わったとき、向かい合う角
問題3：Zの形
問題4：Fの形
問題5：等しくなる
問題6：180 - 135 = 45°
まとめ
平行線と角は、図形の証明や相似を理解するための大切な土台です。
平行線とは、どこまでのばしても交わらない2本の直線です。
対頂角は、向かい合う角で、必ず等しくなります。
直線上の角の和は180°です。
平行線の錯角は等しくなります。
錯角はZの形で探すと見つけやすいです。
平行線の同位角は等しくなります。
同位角はFの形で探すと見つけやすいです。
錯角・同位角は、証明や相似で角が等しい理由として使います。
角度問題が苦手なときは、いきなり計算せず、まず「等しい角はどこか」「180°になるところはどこか」を探しましょう。