このページで学ぶこと
一次関数とは、x が変わると、それに合わせて y も決まったルールで変わる関係のことです。
一次関数は、高校受験でとてもよく出ます。
でも、いきなりグラフや公式から入ると、
「関数って何？」
「x と y は何を表しているの？」
「y=ax+b の a と b は何？」
「傾きって何？」
「変化の割合って何？」
「なぜグラフが直線になるの？」
とつまずきやすくなります。
このページでは、一次関数を意味からゆっくり説明します。
「x と y は何を表しているの？」
「y=ax+b の a と b は何？」
「傾きって何？」
「変化の割合って何？」
「なぜグラフが直線になるの？」
図で見る：一次関数
このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。
関数とは何か？
一次関数を学ぶ前に、まず「関数」という言葉を確認しましょう。 関数とは、ある数を決めると、別の数も決まる関係のことです。
x を決めると、y が決まる
たとえば、1個100円のお菓子を買うとします。
| お菓子の個数 x | 代金 y |
|---|---|
| 1個 | 100円 |
| 2個 | 200円 |
| 3個 | 300円 |
| 4個 | 400円 |
関数とは、x を決めると y が決まる関係です。
一次関数とは何か？
一次関数とは、次のような形で表される関数です。
y = ax + b
a と b には、数字が入ります。
たとえば、
y = 2x + 3
も一次関数です。
一次関数とは、x が1乗で出てくる関数です。
グラフにすると、まっすぐな直線になります。
x² が出てくる場合は、一次関数ではありません。
グラフにすると、まっすぐな直線になります。
| 式 | 一次関数？ | 理由 |
|---|---|---|
| y = 2x + 3 | 一次関数 | x が1乗で出てくる |
| y = -x + 5 | 一次関数 | x が1乗で出てくる |
| y = x² | 一次関数ではない | x² が出てくる |
x と y は何を表しているの？
一次関数では、x と y がよく出てきます。
x = 自分で変える数
y = x によって決まる数
たとえば、1個100円のお菓子を買う場合、
y = x によって決まる数
x = お菓子の個数
y = 代金
と考えることができます。
x が1なら、yは100。
x が2なら、yは200。
x が3なら、yは300。
このように、x が変わると y も変わります。
y = 代金
x は原因、y は結果と考えるとわかりやすいです。
y = ax + b の意味
一次関数でよく出る形が、
y = ax + b
です。
この式の中で、a と b にはそれぞれ意味があります。
| 記号 | 意味 | やさしい言い方 |
|---|---|---|
| a | 変化の割合・傾き | x が1増えたとき、y がどれだけ増えるか |
| b | 切片 | x が0のときの y の値 |
y = 2x + 3
では、
a = 2
b = 3
です。
つまり、x が1増えると y は2増え、x が0のとき y は3になります。
b = 3
a は「増え方」を表す
次の一次関数を見てみましょう。
y = 2x
x にいろいろな数を入れてみます。
| x | y = 2x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
y = 2x の 2 は、「x が1増えると、y が2増える」という意味です。
この増え方を、変化の割合や傾きといいます。
b は「スタート地点」を表す
次の一次関数を見てみましょう。
y = 2x + 3
x = 0 のとき、
y = 2 × 0 + 3 = 3
です。
つまり、このグラフは y が3のところから始まるように見えます。
y = 2x + 3 の 3 は、x = 0 のときの y の値です。
この b のことを、切片といいます。
最初は「切片」という言葉が難しければ、
b = スタート地点
と考えるとわかりやすいです。
一次関数は何に使うの？
一次関数は、変わっていく量を表すときに使います。 たとえば、タクシー料金を考えてみます。
最初に500円かかります。
そのあと、1km進むごとに200円ずつ料金が増えます。
進んだ距離を x km、料金を y 円とすると、
そのあと、1km進むごとに200円ずつ料金が増えます。
y = 200x + 500
と表せます。
この式では、
200 = 1kmごとに増える料金
500 = 最初からかかる料金
です。
500 = 最初からかかる料金
一次関数は、「最初にある量」と「一定の増え方」がある場面で使えます。
グラフはなぜ直線になるの？
一次関数のグラフは、まっすぐな線になります。 理由は、x が1増えるたびに、y の増え方がいつも同じだからです。 たとえば、
y = 2x + 1
の表を作ると、次のようになります。
| x | y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
一次関数のグラフが直線になるのは、y の増え方が一定だからです。
変化の割合とは何か？
変化の割合とは、x が変わったときに、y がどれだけ変わったかを表す数です。
変化の割合の公式
まずは、次のように考えるとわかりやすいです。
たとえば、次の表を見てください。
まずは、次のように考えるとわかりやすいです。
変化の割合 = y の増加量 ÷ x の増加量
分数の形で書くと、次のようになります。
変化の割合 =
y の増加量
x の増加量
| x | y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
2 ÷ 1 = 2
です。
一次関数では、変化の割合はいつも同じです。
そして、変化の割合は y = ax + b の a と同じです。
そして、変化の割合は y = ax + b の a と同じです。
傾きとは何か？
傾きとは、グラフの坂のようなものです。
y = ax + b
の a が傾きです。
| 式 | 傾き | グラフの様子 |
|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 2 | 右上がり |
| y = -2x + 1 | -2 | 右下がり |
| y = 1x + 3 | 1 | ゆるやかな右上がり |
傾きは、グラフがどのくらいの坂になっているかを表します。
一次関数の式から表を作る
次の一次関数で表を作ってみましょう。
y = 3x + 1
x に 0、1、2、3 を入れます。
| x | 計算 | y |
|---|---|---|
| 0 | 3×0+1 | 1 |
| 1 | 3×1+1 | 4 |
| 2 | 3×2+1 | 7 |
| 3 | 3×3+1 | 10 |
表を作ると、x と y の関係が見えやすくなります。
一次関数のグラフをかく流れ
一次関数のグラフは、点を2つ取ればかくことができます。 たとえば、
y = 2x + 1
のグラフをかくなら、次のように考えます。
- x に 0 を入れて、y を求める
- x に 1 を入れて、y を求める
- 2つの点をグラフに打つ
- 2つの点をまっすぐ結ぶ
y = 2×0 + 1 = 1
なので、点は、
(0, 1)
です。
x = 1 のとき、
y = 2×1 + 1 = 3
なので、点は、
(1, 3)
です。
一次関数のグラフは直線なので、2つの点がわかればかけます。
一次関数と連立方程式の関係
一次関数は、連立方程式とも関係があります。 たとえば、
y = 2x + 1
y = -x + 7
という2つの直線があります。
この2つのグラフが交わる点は、両方の式を同時に成り立たせる点です。
つまり、連立方程式の答えと同じ意味になります。
y = -x + 7
2つの一次関数のグラフが交わる点は、連立方程式の解を表しています。
この考え方がわかると、一次関数と連立方程式がつながって見えるようになります。
例題1：y = 2x + 3 の a と b
次の一次関数を見てください。
y = 2x + 3
y = ax + b と比べると、
a = 2
b = 3
です。
つまり、
b = 3
x が1増えると、y は2増えます。
x = 0 のとき、y は3です。
x = 0 のとき、y は3です。
例題2：y = -3x + 4 の傾きと切片
次の一次関数を見てください。
y = -3x + 4
y = ax + b と比べると、
a = -3
b = 4
です。
つまり、傾きは -3、切片は 4 です。
b = 4
傾きがマイナスなので、グラフは右下がりになります。
例題3：変化の割合を求める
次の表を見てください。| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 5 | 8 | 11 |
5 → 8 → 11
と3ずつ増えています。
だから、変化の割合は、
3 ÷ 1 = 3
です。
この一次関数の変化の割合は3です。
文章問題を一次関数にする
一次関数は、文章問題でもよく使います。
ある水そうに、毎分3Lずつ水を入れます。
はじめに水そうには5Lの水が入っていました。
x分後の水の量を y L とします。
最初に5Lあります。
そこへ、毎分3Lずつ増えます。
だから、
はじめに水そうには5Lの水が入っていました。
x分後の水の量を y L とします。
y = 3x + 5
と表せます。
3 は毎分増える量。
5 は最初から入っている量です。
5 は最初から入っている量です。
よくあるつまずき
一次関数では、次のようなところでつまずきやすいです。間違いやすい考え方
・関数という言葉の意味がわからない・x と y の役割がわからない
・a と b をただ暗記する
・傾きと切片を混同する
・変化の割合の意味がわからない
・グラフをいきなり描こうとする
正しい考え方
・x を決めると y が決まると考える・x は原因、y は結果と考える
・a は増え方
・b はスタート地点
・変化の割合は y の増え方
・まず表を作ってからグラフにする
一次関数が苦手な子は、いきなりグラフではなく、まず表を作って x と y の関係を確認しましょう。
確認問題
一次関数の意味を確認してみましょう。
問題1
y = 2x + 5 の a と b はそれぞれいくつですか？
y = 2x + 5 の a と b はそれぞれいくつですか？
問題2
y = -x + 3 の傾きと切片を答えましょう。
y = -x + 3 の傾きと切片を答えましょう。
問題3
y = 3x + 1 で、x = 2 のとき y はいくつですか？
y = 3x + 1 で、x = 2 のとき y はいくつですか？
問題4
x が1増えると y が4増える一次関数があります。変化の割合はいくつですか？
x が1増えると y が4増える一次関数があります。変化の割合はいくつですか？
問題5
最初に10個あり、1日ごとに2個ずつ増えます。x日後の個数を y 個として、式で表しましょう。
最初に10個あり、1日ごとに2個ずつ増えます。x日後の個数を y 個として、式で表しましょう。
答え
問題1：a = 2、b = 5
問題2：傾き -1、切片 3
問題3：y = 3×2 + 1 = 7
問題4：4
問題5：y = 2x + 10
問題2：傾き -1、切片 3
問題3：y = 3×2 + 1 = 7
問題4：4
問題5：y = 2x + 10
まとめ
一次関数は、最初は言葉が多くて難しく感じるかもしれません。 でも、意味を整理するとわかりやすくなります。
関数とは、x を決めると y が決まる関係です。
一次関数は、y = ax + b の形で表されます。
a は増え方、変化の割合、傾きを表します。
b は x = 0 のときの y の値で、切片といいます。
一次関数のグラフは直線になります。
まず表を作ると、式やグラフが理解しやすくなります。
一次関数がわかると、連立方程式やグラフ問題、文章問題にも強くなります。
まずは、「x を決めると y が決まる」という考え方を大切にしましょう。
一次関数は、y = ax + b の形で表されます。
a は増え方、変化の割合、傾きを表します。
b は x = 0 のときの y の値で、切片といいます。
一次関数のグラフは直線になります。
まず表を作ると、式やグラフが理解しやすくなります。