このページで学ぶこと
円とおうぎ形では、「半径」「直径」「中心角」を見つけて、公式に入れることが大切です。
円とおうぎ形が苦手な子は、
「半径と直径の違いがわからない」
「円周と面積の公式が混ざる」
「πをどこに使うかわからない」
「おうぎ形の中心角って何？」
「360で割る理由がわからない」
「弧の長さと面積の公式が混ざる」
というところで止まりやすいです。
このページでは、円の基本からおうぎ形まで、順番に説明します。
円とは何か？
円とは、1つの点から同じ距離にある点を集めた形です。
その真ん中の点を中心といいます。
円は、中心からまわりまでの距離がすべて同じ形です。
半径とは何か？
半径とは、円の中心から円のまわりまでの長さです。
半径 = 中心から円のまわりまでの長さ
たとえば、中心から円のまわりまでが5cmなら、半径は5cmです。
半径は、円の公式で一番よく使う長さです。
直径とは何か？
直径とは、円の中心を通って、円の端から端まで引いた線の長さです。
直径は、半径の2倍です。
直径 = 半径 × 2
反対に、半径は直径の半分です。
半径 = 直径 ÷ 2
直径は半径の2倍。
半径は直径の半分です。
円周率πとは何か？
円周率とは、円のまわりの長さと直径の関係を表す数です。
円周率は、
π
と書き、「パイ」と読みます。
πは、およそ、
3.14
です。
中学校では、答えをπのまま表すことが多いです。
πは、円の計算で使う特別な数です。
問題に「πのままでよい」とあれば、3.14に直さずπのまま答えます。
円周とは何か？
円周とは、円のまわりの長さです。
円周 = 直径 × π
直径は半径の2倍なので、次のようにも書けます。
円周 = 2 × 半径 × π
半径を r とすると、
円周 = 2πr
です。
円周は、円のまわりの長さです。
公式は「直径×π」または「2πr」です。
円周の例題
半径5cmの円の円周を求めなさい。
円周の公式は、
円周 = 2 × 半径 × π
です。
半径が5cmなので、
2 × 5 × π = 10π
です。
答え：10πcm
円周は「長さ」なので、単位はcmやmになります。
面積ではないので、cm²にはしません。
円の面積
円の面積は、円の中の広さです。
公式は、
円の面積 = 半径 × 半径 × π
半径を r とすると、
円の面積 = πr²
です。
円の面積では、半径を2回かけます。
直径をそのまま使わないように注意しましょう。
円の面積の例題
半径6cmの円の面積を求めなさい。
円の面積の公式は、
半径 × 半径 × π
です。
半径が6cmなので、
6 × 6 × π = 36π
です。
答え：36πcm²
面積なので、単位はcm²になります。
直径がわかっているとき
円の問題では、半径ではなく直径が書かれていることがあります。
直径10cmの円の面積を求めなさい。
直径が10cmなので、半径はその半分です。
10 ÷ 2 = 5
半径は5cmです。
円の面積は、
5 × 5 × π = 25π
です。
答え：25πcm²
面積の公式に直径10をそのまま入れて、10×10×πにしてはいけません。
先に半径を求めます。
おうぎ形とは何か？
おうぎ形とは、円の一部分を切り取った形です。
扇子のような形なので、おうぎ形といいます。
おうぎ形には、次の3つがよく出ます。
半径
中心角
弧の長さ
中心角とは何か？
中心角とは、おうぎ形の中心にある角です。
中心角 = おうぎ形の中心にある角
円を全部一周すると360°です。
だから、おうぎ形は、
360°のうち、中心角の分だけ切り取った形
と考えます。
たとえば、中心角が90°のおうぎ形は、円全体の4分の1です。
90 ÷ 360 = 14
おうぎ形の弧の長さ
弧とは、おうぎ形の曲がっている部分です。
おうぎ形の弧の長さは、円周のうち中心角の分だけを考えます。
弧の長さ = 円周 × 中心角360
半径を r、中心角を a° とすると、
弧の長さ = 2πr × a360
です。
おうぎ形は、円全体の一部分です。
だから、中心角が360°のうちどれくらいかを考えます。
弧の長さの例題
半径6cm、中心角60°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
まず、半径6cmの円の円周を求めます。
2 × 6 × π = 12π
中心角は60°なので、円全体の、
60360
=
16
です。
だから、弧の長さは、
12π × 16
=
2π
です。
答え：2πcm
おうぎ形の面積
おうぎ形の面積は、円の面積のうち中心角の分だけを考えます。
おうぎ形の面積 = 円の面積 × 中心角360
半径を r、中心角を a° とすると、
おうぎ形の面積 = πr² × a360
です。
弧の長さも面積も、中心角/360 をかけます。
おうぎ形の面積の例題
半径6cm、中心角60°のおうぎ形の面積を求めなさい。
まず、半径6cmの円の面積を求めます。
6 × 6 × π = 36π
中心角は60°なので、円全体の、
60360
=
16
です。
だから、おうぎ形の面積は、
36π × 16
=
6π
です。
答え：6πcm²
弧の長さと面積の違い
弧の長さと面積は、公式が似ているので混ざりやすいです。
| 求めるもの |
まず使う公式 |
単位 |
| 弧の長さ |
円周 = 2πr |
cm、m |
| おうぎ形の面積 |
円の面積 = πr² |
cm²、m² |
弧の長さを求めるなら、まず円周。
面積を求めるなら、まず円の面積。
どちらも最後に、
中心角360
をかけます。
円とおうぎ形の問題を解く流れ
円とおうぎ形の問題は、次の順番で考えると解きやすくなります。
- 半径がどれか確認する
- 直径が書かれていたら、半径に直す
- 円周を求めるのか、面積を求めるのか確認する
- おうぎ形なら中心角を確認する
- 中心角/360 をかける
- 単位を確認する
最初に「何を求める問題か」を確認すると、公式を間違えにくくなります。
円とおうぎ形でよくあるつまずき
間違いやすい考え方
・半径と直径を混同する
・面積の公式に直径を入れてしまう
・円周と面積の公式が混ざる
・πをつけ忘れる
・中心角/360をかけ忘れる
・長さなのにcm²にしてしまう
正しい考え方
・直径は半径の2倍
・面積は半径×半径×π
・円周は直径×π、または2πr
・πのまま答える問題もある
・おうぎ形は中心角/360をかける
・長さはcm、面積はcm²
円の問題が苦手な子は、まず「半径はどれか」を丸で囲むところから始めましょう。
確認問題
問題1
半径とは、どこからどこまでの長さですか？
問題2
直径は半径の何倍ですか？
問題3
半径4cmの円の円周を求めましょう。
問題4
半径4cmの円の面積を求めましょう。
問題5
直径12cmの円の面積を求めましょう。
問題6
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めましょう。
問題7
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めましょう。
答え
問題1：円の中心から円のまわりまで
問題2：2倍
問題3：2×4×π = 8πcm
問題4：4×4×π = 16πcm²
問題5：直径12cmなので半径6cm。6×6×π = 36πcm²
問題6：2×6×π×120/360 = 12π×1/3 = 4πcm
問題7：6×6×π×120/360 = 36π×1/3 = 12πcm²
まとめ
円とおうぎ形は、公式が多く見えるので難しく感じやすい単元です。
でも、見るポイントは決まっています。
円は、中心からまわりまでの距離が同じ形です。
半径は、中心から円のまわりまでの長さです。
直径は、半径の2倍です。
円周は、円のまわりの長さです。
円周 = 直径×π、または 2πr です。
円の面積 = 半径×半径×π です。
おうぎ形は、円の一部分です。
おうぎ形では、中心角/360 をかけます。
弧の長さは長さ、面積は広さなので、単位に注意します。
円の問題が苦手なときは、いきなり公式を探さず、まず「半径」「直径」「中心角」を見つけましょう。