このページで学ぶこと
確率とは、あることがどれくらい起こりやすいかを数字で表したものです。
確率は、高校受験でよく出る単元です。
でも、確率が苦手な子は、
「何を数えればいいのかわからない」
「全部の場合の数って何？」
「当てはまる場合の数って何？」
「なぜ分数になるの？」
「樹形図をどう使うのかわからない」
「同時に投げる、順番に取り出すの違いがわからない」
というところで止まりやすいです。
このページでは、確率を「起こりやすさを数字にする考え方」として、ゆっくり説明します。
「全部の場合の数って何？」
「当てはまる場合の数って何？」
「なぜ分数になるの？」
「樹形図をどう使うのかわからない」
「同時に投げる、順番に取り出すの違いがわからない」
図で見る：確率
このページの大事な考え方を、図で先に確認しましょう。
確率とは何か？
確率とは、あることがどれくらい起こりやすいかを数字で表したものです。 たとえば、サイコロを1回投げるとします。 出る目は、
1、2、3、4、5、6
の6通りです。
この中で、偶数は、
2、4、6
の3通りです。
だから、偶数が出る確率は、
36 = 12
です。
確率とは、「全部の中で、当てはまるものがどれくらいあるか」を表したものです。
確率の公式
確率の基本公式は、次の形です。
確率 =
当てはまる場合の数
全部の場合の数
言葉で言うと、
確率 = 当てはまる数 ÷ 全部の数
です。
確率では、まず「全部で何通りあるか」を数えます。
次に、「その中で、条件に合うものが何通りあるか」を数えます。
確率が苦手な子は、いきなり計算しようとせず、
次に、「その中で、条件に合うものが何通りあるか」を数えます。
全部の場合の数
当てはまる場合の数
を分けて書くことから始めましょう。
当てはまる場合の数
全部の場合の数とは？
全部の場合の数とは、起こりうるすべてのパターンの数です。 サイコロなら、出る目は、
1、2、3、4、5、6
なので、全部の場合の数は6通りです。
コインなら、出る面は、
表、裏
なので、全部の場合の数は2通りです。
| もの | 全部の場合の数 |
|---|---|
| サイコロ1個 | 6通り |
| コイン1枚 | 2通り |
| 赤・青・黄のカードから1枚選ぶ | 3通り |
全部の場合の数は、「可能性が全部でいくつあるか」です。
当てはまる場合の数とは？
当てはまる場合の数とは、問題で聞かれている条件に合うパターンの数です。 たとえば、
サイコロを1回投げるとき、3以上の目が出る確率を求めなさい。
と聞かれたとします。
サイコロの目は、
1、2、3、4、5、6
です。
この中で、3以上の目は、
3、4、5、6
の4通りです。
だから、当てはまる場合の数は4通りです。
当てはまる場合の数は、「問題で聞かれている条件に合うものがいくつあるか」です。
確率は0から1までの数になる
確率は、0から1までの数で表されます。| 確率 | 意味 |
|---|---|
| 0 | 絶対に起こらない |
| 1 | 必ず起こる |
| 1/2 | 半分くらいの起こりやすさ |
確率は、0以上1以下の数になります。
例題1：サイコロで偶数が出る確率
次の問題を考えます。
サイコロを1回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めなさい。
まず、全部の場合の数を数えます。
1、2、3、4、5、6
なので、全部で6通りです。
次に、偶数を探します。
2、4、6
なので、当てはまる場合は3通りです。
確率は、
36 = 12
です。
答え：12
例題2：サイコロで3以上が出る確率
次の問題を考えます。
サイコロを1回投げるとき、3以上の目が出る確率を求めなさい。
全部の場合の数は、
1、2、3、4、5、6
の6通りです。
3以上の目は、
3、4、5、6
の4通りです。
だから、確率は、
46 = 23
です。
「以上」は、その数を含みます。
3以上なら、3も入ります。
3以上なら、3も入ります。
例題3：コインを1枚投げる確率
コインを1枚投げると、出る面は、
表、裏
の2通りです。
表が出る場合は1通りです。
だから、表が出る確率は、
12
です。
裏が出る確率も同じく、
12
です。
コイン1枚では、全部の場合の数は2通りです。
コインを2枚投げる場合
コインを2枚投げると、場合の数は少し増えます。 1枚目と2枚目を分けて考えると、
表表、表裏、裏表、裏裏
の4通りです。
| 1枚目 | 2枚目 |
|---|---|
| 表 | 表 |
| 表 | 裏 |
| 裏 | 表 |
| 裏 | 裏 |
表裏、裏表
の2通りです。
だから、確率は、
24 = 12
です。
表裏と裏表は、1枚目と2枚目が違うので、別のものとして数えます。
樹形図とは何か？
樹形図とは、場合の数をもれなく数えるための図です。 木の枝のように分かれていくので、樹形図といいます。
表表、表裏、裏表、裏裏
の4通りを、もれなく数えられます。
樹形図は、全部の場合の数を整理するための道具です。
くじの確率
次の問題を考えます。
箱の中に、赤玉2個、白玉3個が入っています。
この中から1個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めなさい。
玉は全部で、
この中から1個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めなさい。
2 + 3 = 5個
あります。
赤玉は2個です。
だから、赤玉が出る確率は、
25
です。
くじや玉の問題でも、「当てはまる数 ÷ 全部の数」で考えます。
順番に取り出す問題
確率では、「戻す」「戻さない」という言葉が大切です。 たとえば、袋の中に赤玉1個、白玉1個が入っているとします。 1個取り出して、戻さずにもう1個取り出す場合、1回目に何を取ったかで、2回目に残っている玉が変わります。
戻す：1回目に取ったものを袋に戻す
戻さない：1回目に取ったものを袋に戻さない
「戻さない」場合は、2回目の全部の場合の数が変わることがあります。
戻さない：1回目に取ったものを袋に戻さない
確率の文章問題では、「戻す」「戻さない」を必ず確認しましょう。
同時に選ぶ問題
「同時に2個選ぶ」という問題もあります。 この場合は、順番を区別しないことが多いです。 たとえば、赤・青・黄の3枚のカードから2枚を同時に選ぶとします。 選び方は、
赤青、赤黄、青黄
の3通りです。
赤青と青赤は、同時に選ぶ場合は同じ組み合わせです。
同時に選ぶときは、順番を区別しないことが多いです。
「順番に選ぶ」のか「同時に選ぶ」のかで、数え方が変わります。
確率の問題を解く流れ
確率の問題は、次の順番で考えると解きやすくなります。- 何を求める問題か確認する
- 全部の場合の数を数える
- 当てはまる場合の数を数える
- 確率の公式に入れる
- 分数を約分する
確率 =
当てはまる場合の数
全部の場合の数
確率が苦手な子は、まず「全部」と「当てはまるもの」を分けて書くことが大切です。
例題4：2個のサイコロの確率
次の問題を考えます。
2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めなさい。
サイコロ1個は6通りです。
2個のサイコロでは、
6 × 6 = 36通り
です。
これが全部の場合の数です。
次に、和が7になる組み合わせを探します。
(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)
の6通りです。
だから、確率は、
636 = 16
です。
2個のサイコロでは、(1,6) と (6,1) は別の出方として数えます。
確率でよくあるつまずき
確率では、次のようなところでつまずきやすいです。間違いやすい考え方
・全部の場合の数を数えない・当てはまる場合だけ数えて終わる
・分母と分子を逆にする
・表裏と裏表を同じにしてしまう
・戻す、戻さないを見落とす
・順番に選ぶ、同時に選ぶを混同する
正しい考え方
・まず全部の場合の数を数える・次に当てはまる場合の数を数える
・当てはまる数を上、全部の数を下に書く
・順番があるか確認する
・戻すか戻さないか確認する
・樹形図や表で整理する
確率が苦手な子は、頭の中だけで数えず、樹形図や表に書き出すことが大切です。
確認問題
確率の基本を確認してみましょう。
問題1
サイコロを1回投げるとき、1の目が出る確率を求めましょう。
サイコロを1回投げるとき、1の目が出る確率を求めましょう。
問題2
サイコロを1回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めましょう。
サイコロを1回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めましょう。
問題3
コインを1枚投げるとき、表が出る確率を求めましょう。
コインを1枚投げるとき、表が出る確率を求めましょう。
問題4
箱の中に赤玉3個、白玉2個があります。1個取り出すとき、白玉が出る確率を求めましょう。
箱の中に赤玉3個、白玉2個があります。1個取り出すとき、白玉が出る確率を求めましょう。
問題5
コインを2枚投げるとき、2枚とも表が出る確率を求めましょう。
コインを2枚投げるとき、2枚とも表が出る確率を求めましょう。
問題6
2個のサイコロを投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めましょう。
2個のサイコロを投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めましょう。
答え
問題1：16
問題2：36 = 12
問題3：12
問題4：25
問題5：14
問題6：636 = 16
問題2：36 = 12
問題3：12
問題4：25
問題5：14
問題6：636 = 16
まとめ
確率は、最初は「何を数えればいいのか」がわかりにくい単元です。 でも、基本はとてもシンプルです。
確率とは、あることがどれくらい起こりやすいかを数字で表したものです。
確率は、当てはまる場合の数 ÷ 全部の場合の数で求めます。
全部の場合の数は、起こりうるすべてのパターンの数です。
当てはまる場合の数は、問題の条件に合うパターンの数です。
場合の数が多いときは、樹形図や表を使うと整理しやすくなります。
「戻す」「戻さない」「同時に選ぶ」「順番に選ぶ」に注意しましょう。
確率が苦手なときは、いきなり分数を作ろうとせず、まず「全部はいくつ？」「当てはまるものはいくつ？」と分けて考えましょう。
確率は、当てはまる場合の数 ÷ 全部の場合の数で求めます。
全部の場合の数は、起こりうるすべてのパターンの数です。
当てはまる場合の数は、問題の条件に合うパターンの数です。
場合の数が多いときは、樹形図や表を使うと整理しやすくなります。
「戻す」「戻さない」「同時に選ぶ」「順番に選ぶ」に注意しましょう。