このページで学ぶこと
三平方の定理とは、直角三角形の3つの辺の長さの関係を表す定理です。
三平方の定理は、高校受験の図形問題でとてもよく出ます。
でも、苦手な子は、
「a²+b²=c²って何？」
「どの辺がcなの？」
「斜辺って何？」
「なぜ2乗するの？」
「最後に√が出てくるのがわからない」
「3:4:5って何？」
というところで止まりやすいです。
このページでは、三平方の定理を「直角三角形の辺の長さを求める道具」として、ゆっくり説明します。
三平方の定理とは何か？
三平方の定理とは、直角三角形で成り立つ辺の長さの関係です。
直角三角形とは、90度の角がある三角形のことです。
三平方の定理は、次の形で表されます。
a² + b² = c²
ここで大切なのは、c は斜辺だということです。
a、b：直角をはさむ2つの辺
c：直角の向かい側にある一番長い辺
三平方の定理は、直角三角形の辺の長さを求めるために使います。
直角三角形とは何か？
直角三角形とは、1つの角が90度になっている三角形です。
図のように、直角の向かい側にある辺を斜辺といいます。
斜辺 = 直角の向かい側の辺
三平方の定理では、斜辺を c にすることがとても大切です。
斜辺とは何か？
斜辺とは、直角三角形で一番長い辺です。
そして、直角の向かい側にあります。
直角を作っている2つの辺ではありません。
直角の向かい側にある、ななめの辺が斜辺です。
三平方の定理では、
a² + b² = c²
の c が斜辺です。
斜辺を間違えると、式が全部ずれてしまいます。まず斜辺を見つけましょう。
a²+b²=c² の意味
三平方の定理の公式は、
a² + b² = c²
です。
これは、
短い辺を2乗する
もう一つの短い辺も2乗する
それを足す
その答えが、斜辺を2乗したものと等しい
という意味です。
たとえば、直角をはさむ2つの辺が3cmと4cmなら、
3² + 4² = c²
です。
3² = 9、4² = 16 なので、
9 + 16 = c²
つまり、
25 = c²
です。
2乗して25になる長さは5なので、
c = 5
になります。
3cm、4cm、5cm の直角三角形は、三平方の定理でとてもよく出ます。
三平方の定理で辺の長さを求める流れ
三平方の定理の問題は、次の順番で考えると解きやすくなります。
- 直角三角形を見つける
- 斜辺を確認する
- a² + b² = c² に数字を入れる
- 2乗を計算する
- 必要なら平方根を使って長さを求める
まず斜辺を見つける。これが一番大事です。
例題1：斜辺を求める
次の問題を考えます。
直角三角形で、直角をはさむ2つの辺が6cmと8cmです。
斜辺の長さを求めなさい。
斜辺を c とします。
三平方の定理より、
6² + 8² = c²
です。
6² = 36、8² = 64 なので、
36 + 64 = c²
つまり、
100 = c²
です。
2乗して100になる長さは10なので、
c = 10
です。
答え：10cm
例題2：短い辺を求める
三平方の定理では、斜辺ではない辺を求める問題もあります。
直角三角形で、斜辺が13cm、もう一つの辺が5cmです。
残りの辺の長さを求めなさい。
残りの辺を x とします。
斜辺は13cmなので、c = 13 です。
三平方の定理より、
x² + 5² = 13²
です。
5² = 25、13² = 169 なので、
x² + 25 = 169
25を右に移すと、
x² = 144
2乗して144になる長さは12なので、
x = 12
です。
答え：12cm
斜辺を求めるときは足し算になりやすく、短い辺を求めるときは引き算になりやすいです。
平方根が出てくる場合
答えが整数にならないこともあります。
直角三角形で、直角をはさむ2つの辺が1cmと2cmです。
斜辺の長さを求めなさい。
斜辺を c とします。
1² + 2² = c²
1² = 1、2² = 4 なので、
1 + 4 = c²
つまり、
5 = c²
です。
2乗して5になる長さは、
√5
なので、
c = √5
です。
三平方の定理では、答えに√が出ることがあります。
3:4:5の直角三角形
三平方の定理で特によく出るのが、
3 : 4 : 5
の直角三角形です。
なぜなら、
3² + 4² = 5²
が成り立つからです。
実際に計算すると、
9 + 16 = 25
です。
3、4、5 は、三平方の定理でとてもよく出る組み合わせです。
ほかにも、次のような組み合わせがあります。
| 短い辺 | もう一つの辺 | 斜辺 |
|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 6 | 8 | 10 |
| 8 | 15 | 17 |
ただ暗記するだけでなく、a²+b²=c² が成り立つか確認できるようにしましょう。
三平方の定理が使えるのは直角三角形だけ
三平方の定理は、どんな三角形にも使えるわけではありません。
三平方の定理が使えるのは、直角三角形だけ
です。
直角がない三角形に、いきなり a²+b²=c² を使ってはいけません。
問題を解く前に、必ず直角三角形かどうかを確認しましょう。
三平方の定理は何に使うの？
三平方の定理は、図形の中の長さを求めるときに使います。
たとえば、
・直角三角形の斜辺を求める
・正方形や長方形の対角線を求める
・座標平面で2点間の距離を求める
・円や相似と組み合わせた図形問題を解く
・立体の対角線を求める
高校受験では、図形問題の中に直角三角形を見つけて、三平方の定理を使う問題がよく出ます。
三平方の定理は、図形の中に隠れている直角三角形を使って長さを求める道具です。
長方形の対角線を求める
三平方の定理は、長方形の対角線にも使えます。
縦が6cm、横が8cmの長方形があります。
対角線の長さを求めなさい。
長方形の対角線を引くと、直角三角形ができます。
縦6cm、横8cmが直角をはさむ2つの辺になり、対角線が斜辺になります。
6² + 8² = c²
なので、
36 + 64 = c²
つまり、
100 = c²
です。
よって、
c = 10
になります。
長方形の対角線は、三平方の定理で求められます。
三平方の定理でよくあるつまずき
間違いやすい考え方
・どの三角形にも使ってしまう
・斜辺を間違える
・a²+b²=c² の c を適当に決める
・2乗するのを忘れる
・短い辺を求めるのに足してしまう
・最後の√を忘れる
正しい考え方
・直角三角形だけに使う
・直角の向かい側が斜辺
・c は必ず斜辺にする
・辺の長さを2乗してから計算する
・短い辺を求めるときは引き算に注意する
・x²=数字 になったら平方根を考える
三平方の定理が苦手な子は、まず「直角三角形を見つける」「斜辺を見つける」の2つを大切にしましょう。
確認問題
問題1
三平方の定理が使えるのは、どのような三角形ですか？
問題2
直角をはさむ2つの辺が3cmと4cmのとき、斜辺は何cmですか？
問題3
直角をはさむ2つの辺が5cmと12cmのとき、斜辺は何cmですか？
問題4
斜辺が10cm、もう一つの辺が6cmの直角三角形があります。残りの辺は何cmですか？
問題5
直角をはさむ2つの辺が2cmと3cmのとき、斜辺は何cmですか？
問題6
三平方の定理で、c にするのはどの辺ですか？
答え
問題1：直角三角形
問題2：5cm
問題3：13cm
問題4：8cm
問題5：√13cm
問題6：斜辺。直角の向かい側にある一番長い辺
まとめ
三平方の定理は、図形の中の長さを求めるための大切な道具です。
三平方の定理は、直角三角形で使います。
公式は a² + b² = c² です。
c は斜辺です。
斜辺は、直角の向かい側にある一番長い辺です。
3、4、5 の直角三角形はよく出ます。
x² = 数字 になったら、平方根を使って長さを求めます。
三平方の定理が苦手なときは、まず図の中から直角三角形を見つけましょう。
そして、斜辺がどれかを確認してから、a²+b²=c² に数字を入れていけば大丈夫です。