このページで学ぶこと
比例・反比例とは、xの値が変わると、それに合わせてyの値も変わる関係のことです。
比例・反比例は、一次関数や二次関数を学ぶ前の大切な入口です。
苦手な子は、
「xとyって何？」
「比例って何？」
「y=ax の意味がわからない」
「比例定数って何？」
「表・式・グラフがつながらない」
「反比例の y=a/x が急に難しい」
「比例と一次関数の違いがわからない」
というところで止まりやすいです。
このページでは、比例・反比例を「xが変わるとyも変わる関係」として、ゆっくり説明します。
まず、関数とは何か？
関数とは、ある数を決めると、それに合わせて別の数が決まる関係のことです。
たとえば、1個100円のノートを買うとします。
買う冊数を x 冊、代金を y 円とすると、
y = 100x
になります。
xが1なら、yは100。
xが2なら、yは200。
xが3なら、yは300です。
xの値を決めると、yの値が決まる。
これが関数の基本です。
xとyとは何か？
xとyは、変わる数を表す文字です。
x：自分で変える数、もとになる数
y：xに合わせて決まる数
ノートの例では、
x = 買う冊数
y = 代金
です。
買う冊数が変わると、代金も変わります。
| x | 意味 | y | 意味 |
|---|
| 1 | 1冊 | 100 | 100円 |
| 2 | 2冊 | 200 | 200円 |
| 3 | 3冊 | 300 | 300円 |
関数では、xとyが何を表しているのかを言葉で確認するとわかりやすくなります。
比例とは何か？
比例とは、xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になる関係です。
たとえば、1個100円のノートを買うとき、
y = 100x
です。
xが2倍になれば、yも2倍になります。
比例とは、xが何倍かになると、yも同じように何倍かになる関係です。
比例の式
比例の式は、次の形で表します。
y = ax
ここで、aは決まった数です。
aのことを、比例定数といいます。
y = ax は、比例の基本形です。
aは比例定数です。
たとえば、
y = 3x
なら、比例定数は3です。
xに3をかけると、yになります。
比例定数とは何か？
比例定数とは、xにかける決まった数です。
y = ax
の a が比例定数です。
たとえば、
y = 5x
なら、比例定数は5です。
これは、
xに5をかけるとyになる
という意味です。
| 式 | 比例定数 |
|---|
| y = 2x | 2 |
| y = 5x | 5 |
| y = -3x | -3 |
| y = 1/2 x | 1/2 |
比例定数は、xの前についている数です。
y = x のときは、比例定数は1です。
比例の表を作る
比例の式がわかれば、表を作ることができます。
たとえば、
y = 2x
の表を作ります。
xに数字を入れて、yを計算します。
表は、xの値を式に入れて、yの値を求めて作ります。
比例のグラフ
比例のグラフは、原点を通る直線になります。
原点とは、座標の (0,0) のことです。
比例のグラフは、必ず原点を通る直線になります。
これはとても大事です。
一次関数のグラフとの違いを考えるときにも使います。
比例の例題
yはxに比例し、x=4のときy=12です。
yをxの式で表しなさい。
比例なので、式は、
y = ax
です。
x=4、y=12を入れると、
12 = 4a
です。
4で割ると、
a = 3
なので、
y = 3x
です。
答え：y = 3x
反比例とは何か？
反比例とは、xが2倍、3倍になると、yが1/2倍、1/3倍になる関係です。
たとえば、面積が12の長方形を考えます。
横の長さをx、縦の長さをyとすると、
x × y = 12
です。
横が長くなると、同じ面積を保つために、縦は短くなります。
| x | y | x×y |
|---|
| 1 | 12 | 12 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 3 | 12 |
| 6 | 2 | 12 |
反比例では、xが大きくなると、yは小さくなります。
そして、x×y は一定になります。
反比例の式
反比例の式は、次の形で表します。
y = ax
または、
xy = a
と表すこともあります。
ここで、aは決まった数です。
反比例では、xとyをかけるといつも同じ数になります。
その決まった数が a です。
たとえば、
y = 12x
なら、
xy = 12
です。
反比例の表を作る
反比例の式、
y = 12x
の表を作ります。
xに数字を入れて、yを計算します。
反比例では、xが大きくなるとyは小さくなります。
そして、どの組でも、
x × y = 12
になります。
反比例のグラフ
反比例のグラフは、直線ではなく、曲線になります。
反比例のグラフは曲線になります。
比例のように原点を通る直線ではありません。
反比例の例題
yはxに反比例し、x=3のときy=8です。
yをxの式で表しなさい。
反比例なので、
y = ax
です。
x=3、y=8を入れると、
8 = a3
です。
両方に3をかけると、
a = 24
なので、
y = 24x
です。
答え：y = 24/x
比例と反比例の違い
比例と反比例の違いを整理しましょう。
| 種類 |
式 |
特徴 |
グラフ |
| 比例 |
y = ax |
xが増えると、yも同じ割合で増える |
原点を通る直線 |
| 反比例 |
y = a/x |
xが増えると、yは小さくなる |
曲線 |
比例は「一緒に増える」。
反比例は「片方が増えると、もう片方が減る」と考えるとわかりやすいです。
比例と一次関数の違い
比例は、一次関数の一部と考えることができます。
一次関数の式は、
y = ax + b
です。
比例の式は、
y = ax
です。
つまり、比例は、
b = 0 の一次関数
と考えられます。
比例のグラフは原点を通ります。
一次関数のグラフは、原点を通るとは限りません。
たとえば、
y = 2x
は比例です。
y = 2x + 3
は一次関数ですが、比例ではありません。
比例・反比例の問題を解く流れ
比例・反比例の問題は、次の順番で考えます。
- 比例か反比例かを確認する
- 比例なら y=ax、反比例なら y=a/x と置く
- 問題文の x と y の値を入れる
- a を求める
- 式を完成させる
まず「比例なのか、反比例なのか」を見分けることが大切です。
比例・反比例でよくあるつまずき
間違いやすい考え方
・xとyが何を表すか確認しない
・比例定数を見つけられない
・y=ax と y=a/x を混同する
・反比例でも直線だと思う
・比例と一次関数を同じだと思う
・表・式・グラフを別々に考えてしまう
正しい考え方
・xとyの意味を言葉で確認する
・比例ではxにかける数がa
・反比例ではx×yがa
・反比例のグラフは曲線
・比例は原点を通る一次関数
・表・式・グラフは同じ関係を表す
関数が苦手な子は、まず「xを決めるとyが決まる」という感覚を大切にしましょう。
確認問題
問題1
比例の式は、どのような形で表しますか？
問題2
y = 4x の比例定数はいくつですか？
問題3
yはxに比例し、x=5のときy=20です。yをxの式で表しましょう。
問題4
反比例の式は、どのような形で表しますか？
問題5
yはxに反比例し、x=4のときy=6です。yをxの式で表しましょう。
問題6
比例のグラフは、どのような線になりますか？
問題7
反比例では、xとyをかけるとどうなりますか？
答え
問題1：y = ax
問題2：4
問題3：20 = 5a より a = 4、答え y = 4x
問題4：y = a/x
問題5：6 = a/4 より a = 24、答え y = 24/x
問題6：原点を通る直線
問題7：いつも一定の数になる
まとめ
比例・反比例は、関数の入口になる大切な単元です。
関数とは、xを決めるとyが決まる関係です。
比例とは、xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になる関係です。
比例の式は y = ax です。
a は比例定数です。
比例のグラフは、原点を通る直線です。
反比例とは、xが増えるとyが小さくなる関係です。
反比例の式は y = a/x です。
反比例では、x×y が一定になります。
反比例のグラフは曲線です。
比例・反比例が苦手なときは、まず表を作ってみましょう。
表を見ると、xが変わったときにyがどう変わるのかが見えやすくなります。